Question

6．如圖，正方形ABCD，Q為CD邊上一動點，AQ交BD于M，過M作MN⊥AQ交BC于N．過N作NP⊥BD于P，連接NQ、MC，下列結(jié)論：
①AM=MC；②BN+DM=PM；③∠DAQ+∠MNC=90°；④BN+DQ=NQ；⑤$\frac{AB+BN}{BM}$為定值，其中正確的有（　�。�

• A． 5個
• B． 4個
• C． 3個
• D． 2個

Answer 1

分析 ①正確．利用對稱性即可解決問題．
②錯誤．應該是PM=PB+DM．只要證明△AMH≌△MNP即可．
③正確．只要證明MN=NC，得到∠MNC=∠MCN，由∠DAQ=∠DCM即可解決問題．
④正確．將△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度至△ABR，使AD和AB重合，在連接AN，可得三角形AQN≌ANR，得NR=NQ，由此即可解決問題．
⑤正確．作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，由△AMS≌△NMW，得AS=NW，得AB+BN=SB+BW=2BW，由此即可解決問題．

解答 解：：∵四邊形ABCD是正方形，
∴A、C關于BD對稱，
∴MA=MC．故①正確．
作AU⊥NQ于U，連接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四點共圓，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴由等角對等邊知，AM=MN，
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴PM=DM+PB，故②錯誤，
∵MN=MC，
∴∠MNC=∠MCN，易知∠DAM=∠DCM，
∵∠MCN+∠DCM=90°，
∴∠DAQ+∠MNC=90°，故③正確，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴將△ADQ繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90度至△ABR，使AD和AB重合，在連接AN，證明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ
則BN=NU，DQ=UQ，
∴點U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故④正確．
如圖，作MS⊥AB，垂足為S，作MW⊥BC，垂足為W，點M是對角線BD上的點，
∴四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB+BN}{BM}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，故⑤正確．
故①③④⑤正確，
故選B．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，四點共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關鍵．