等邊△ABC的邊長為2,P是BC邊上的任一點(diǎn)(與B、C不重合),連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE,分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N(如圖1).

(1)求證:AM=AN;
(2)設(shè)BP=x.
①若BM=,求x的值;
②求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值;
③連接DE分別與邊AB、AC交于點(diǎn)G、H(如圖2).當(dāng)x為何值時(shí),∠BAD=15°?此時(shí),以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形,請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)由已知條件可以得出AD=AP,∠DAP=∠BAC=60°,∠ADM=∠APN=60°,從而得出∠DAM=∠PAN,可以得出△ADM≌△APN,就可以得出結(jié)論.
(2)①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP,可以得出,由已知條件可以建立方程求出BP的值.
②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積,由△ADM≌△APN,S△ADM=S△APN,可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積.
③連接PG,若∠DAB=15°,由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°.由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形,就有DO垂直平分AP,得到GP=AG,就有∠PAG=∠APG=45°,得出∠PGA=90°,設(shè)BG=t,在Rt△BPG中∠APG=60°,就可以求出BP=2t,PG=t,從而求得t的值,即可以求出結(jié)論.以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形,由已知條件可知四邊形ADPE為菱形,可以得到∠ADO=∠AEH=30°,根據(jù)∠DAB=15°,可以求出∠AGO=45°,∠HAO=15°,∠EAH=45°.設(shè)AO=a,則AD=AE=2a,OD=a,得到DG=(-1)a,由∠DAB=15°,可以求出∠DHA=∠DAH=75°,求得GH=(3-)a,HE=2(-1)a,最后由勾股定理的逆定理就可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)證明:∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=60°,∠ADM=∠APN=60°,
∴∠DAM=∠PAN.
在△ADM和△APN中,


∴△ADM≌△APN,
∴AM=AN.

(2)①∵△ABC、△ADP是等邊三角形,
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°,
∴∠DAM=∠PAC,
∵∠ADM=∠B,∠DMA=∠BMP,
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP,
∴∠DAM=∠BPM,
∴∠BPM=∠NAP,
∴△BPM∽△CAP,
,
∵BM=,AC=2,CP=2-x,
∴4x2-8x+3=0,
解得x1=,x2=
②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積.
∵△ADM≌△APN,
∴S△ADM=S△APN,
∴S四邊形AMPN=S△APM+S△APN=S△AMP+S△ADM=S△ADP
過點(diǎn)P作PS⊥AB,垂足為S,
在Rt△BPS中,∵∠B=60°,BP=x,
PS=BPsin60°=x,BS=BPcos60°=x,
∵AB=2,
∴AS=AB-BS=2-x,
∴AP2=AS2+PS2==x2-2x+4.
取AP的中點(diǎn)T,連接DT,在等邊三角形ADP中,DT⊥AP,
∴S△ADP=AP.DT=AP×=
∴S=S四邊形AMPN=S△ADP==(0<x<2),
∴當(dāng)x=1時(shí),S的最小值是
③連接PG,若∠DAB=15°,
∵∠DAP=60°,
∴∠PAG=45°.
∵△APD和△APE是等邊三角形,
∴四邊形ADPE是菱形,
∴DO垂直平分AP,
∴GP=AG,
∴∠PAG=∠APG=45°,
∴∠PGA=90°.
設(shè)BG=t,在Rt△BPG中,∠ABP=60°,
∴BP=2t,PG=t,
∴AG=PG=t,
t+t=2,
解得t=-1,
∴BP=2t=2-2.
∴當(dāng)BP=2-2時(shí),∠BAD=15°.
猜想:以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形.
設(shè)DE交AP于點(diǎn)O,
∵△APD和△APE是等邊三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA,
∴四邊形ADPE為菱形,
∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=30°.
∵∠DAB=15°,
∴∠GAO=45°,
∴∠AGO=45°,∠HAO=15°,
∴∠EAH=45°.
設(shè)AO=a,則AD=AE=2a,GO=AO=a,OD=a.
∴DG=DO-GO=(-1)a.
∵∠DAB=15°,∠BAC=60°,∠ADO=30°,
∴∠DHA=∠DAH=75°.
∴DH=AD=2a,
∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a.
HE=DE-DH=2DO-DH=2a-2a.
∵DG2+GH2=,
HE2==
∴DG2+GH2=HE2
∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用.本題的綜合性較強(qiáng)在解答時(shí)要注意解答問題的突破口,這也是解答問題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,等邊△ABC的邊長為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),EF∥AC交線段AB于點(diǎn)F,在線段AC上取一點(diǎn)P,使PE=EB,連接FP.
(1)請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的所有線段.(不再另外添加輔助線)
(2)點(diǎn)E滿足什么條件時(shí),四邊形EFPC是菱形,并說明理由.
(3)在(2)的條件下,以點(diǎn)E為圓心,r為半徑作圓,根據(jù)E與此時(shí)平行四邊形EFPC四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù),求相應(yīng)的r的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,等邊△ABC的邊長為數(shù)學(xué)公式,以BC邊所在直線為x軸,BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)如圖,設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓,分別切AB、AC于E、F點(diǎn),求陰影部分的面積.
(3)點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以D點(diǎn)為圓心,3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時(shí),試判斷⊙D與(2)中⊙P的位置關(guān)系,并簡要說明理由.
(4)若(2)中⊙P的大小不變,圓心P設(shè)y軸運(yùn)動(dòng),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系?并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時(shí)a的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2001年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,等邊△ABC的邊長為,以BC邊所在直線為x軸,BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式.
(2)如圖,設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓,分別切AB、AC于E、F點(diǎn),求陰影部分的面積.
(3)點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以D點(diǎn)為圓心,3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時(shí),試判斷⊙D與(2)中⊙P的位置關(guān)系,并簡要說明理由.
(4)若(2)中⊙P的大小不變,圓心P設(shè)y軸運(yùn)動(dòng),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a),則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系?并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時(shí)a的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012年江蘇省無錫市蠡園中學(xué)中考適應(yīng)性練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(十六)(解析版) 題型:解答題

如圖,等邊△ABC的邊長為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),EF∥AC交線段AB于點(diǎn)F,在線段AC上取一點(diǎn)P,使PE=EB,連接FP.
(1)請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的所有線段.(不再另外添加輔助線)
(2)點(diǎn)E滿足什么條件時(shí),四邊形EFPC是菱形,并說明理由.
(3)在(2)的條件下,以點(diǎn)E為圓心,r為半徑作圓,根據(jù)E與此時(shí)平行四邊形EFPC四條邊交點(diǎn)的總個(gè)數(shù),求相應(yīng)的r的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:期末題 題型:單選題

如圖,已知等邊△ABC的邊長為2,DE是它的中位線,則下面四個(gè)結(jié)論:
①DE=1,②△CDE∽△CAB,③△CDE的面積與△CAB的面積之比為1:4。
其中正確的有
[     ]
A.0 個(gè)    
B.1 個(gè)    
C.2 個(gè)    
D.3 個(gè)

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