Question

【題目】如圖4，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）經過點A（2，0），B（6，0），交y軸于點C，且S△ABC=16．

（1）求點C的坐標；

（2）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（3）若正方形DEFG內接于拋物線和x軸（邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上），求S正方形DEFG．

Answer 1

【答案】（1）（0，8）；（2）y=x2﹣x+8，其對稱軸為直線x=4；（3）4

【解析】

（1）由S△ABC＝×AB×OC求出OC的長度，進而確定C點坐標；（2）因為拋物線經過點A（2，0），B（6，0），故可以設二次函數(shù)的交點式，即y＝a（x﹣2）（x﹣6），再將C點坐標代入即可求得解析式,進一步得到對稱軸；（3）設正方形DEFG的邊長為m，再根據(jù)題中的條件列出正確的D、E坐標，再將E點坐標代入二次函數(shù)求出邊長m，進一步求得正方形DEFG的面積.

（1）∵A（2，0），B（6，0），

∴AB＝6﹣2＝4．

∵S△ABC＝16，

∴×4OC＝16，

∴OC＝8，

∴點C的坐標為（0，8）；

（2）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a＞0）經過點A（2，0），B（6，0），

∴可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣6），

將C（0，8）代入，得8＝12a，

解得a＝，

∴y＝（x﹣2）（x﹣6）＝x2﹣x＋8，

故拋物線的解析式為y＝x2﹣x＋8，其對稱軸為直線x＝4；

（3）設正方形DEFG的邊長為m，則m＞0，

∵正方形DEFG內接于拋物線和x軸（邊FG在x軸上，點D，E分別在拋物線上），

∴D（4﹣m，﹣m），E（4＋m，﹣m）．

將E（4＋m，﹣m）代入y＝x2﹣x＋8，

得﹣m＝×（4＋m）2﹣×（4＋m）＋8，

整理得，m2＋6m﹣16＝0，

解得m1＝2，m2＝﹣8（不合題意舍去），

∴正方形DEFG的邊長為2，

∴S正方形DEFG＝22＝4．