【題目】問(wèn)題背景:已知在△ABC中,邊AB上的動(dòng)點(diǎn)D由A向B運(yùn)動(dòng)(與A,B不重合),同時(shí)點(diǎn)E由點(diǎn)C沿BC的延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(E不與C重合),連接DE交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)H是線段AF上一點(diǎn),求 的值.
(1)初步嘗試
如圖(1),若△ABC是等邊三角形,DH⊥AC,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,先證GH=AH,再證GF=CF,
從而求得 的值為 .
(2)類比探究
如圖(2),若△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 :1,求 的值.
(3)延伸拓展
如圖(3)若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,記 =m,且點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)速度相等,試用含m的代數(shù)式表示 的值(直接寫(xiě)出果,不必寫(xiě)解答過(guò)程).
【答案】
(1)2
(2)
解:如圖(2)過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,
則∠ADG=∠ABC=90°.
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴AH=DH,∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°,
∠HDG=∠ADG﹣∠ADH=60°,
∴△DGH為等邊三角形.
∴GD=GH=DH=AH,AD=GDtan60°= GD.
由題意可知,AD= CE.
∴GD=CE.
∵DG∥BC,
∴∠GDF=∠CEF.
在△GDF與△CEF中, ,
∴△GDF≌△CEF(AAS),
∴GF=CF.
GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,
∴HF= AC=2,即 .
(3)
解: = .理由如下:
如圖(3),過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,
易得AD=AG,AD=EC,∠AGD=∠ACB.
在△ABC中,∵∠BAC=∠ADH=36°,AB=AC,
∴AH=DH,∠ACB=∠B=72°,∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°.
∴∠AGD=∠GHD=72°.
∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB,
∴△ABC∽△DGH.
∴ ,
∴GH=mD H=mA H.
由△ADG∽△ABC可得 .
∵DG∥BC,
∴ .
∴FG=mFC.
∴GH+FG=m(AH+FC)=m(AC﹣HF),
即HF=m(AC﹣HF).
∴ = .
【解析】解:(1)過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,如圖(1)所示:
∵△ABC是等邊三角形,
∴△AGD是等邊三角形,
∴AD=GD,
由題意知:CE=AD,
∴CE=GD
∵DG∥BC,
∴∠GDF=∠CEF,
在△GDF與△CEF中, ,
∴△GDF≌△CEF(AAS),
∴CF=GF,
∵DH⊥AG,
∴AH=GH,
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2(GH+GF),
HF=GH+GF,
∴ =2;
故答案為:2;
(1)過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,由題意知△AGD是等邊三角形,所以AD=GD,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由三線合一可知:AH=GH,即可得出所求答案;(2)過(guò)點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)G,由點(diǎn)D,E的運(yùn)動(dòng)速度之比是 :1可知GD=CE,所以可以證明△GDF≌△CEF,所以CF=GF,由∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°可知:AH=DH,即可得出答案;(3)類似(1)(2)的方法可求出 =m和 =m,然后利用GH+FG=m(AH+FC)=m(AC﹣HF)即可求出 的值.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=DE,連接AF、DC.求證:四邊形ADCF是菱形.
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【題目】如圖所示,某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量山坡上的電線桿PQ的高度,他們?cè)贏處測(cè)得信號(hào)塔頂端P的仰角是45°,信號(hào)塔底端點(diǎn)Q的仰角為31°,沿水平地面向前走100米到B處,測(cè)得信號(hào)塔頂端P的仰角是68°,求信號(hào)塔PQ的高度.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48,tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86)
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如圖2,在非等邊⊿中, , 分別是的平分線,且交于點(diǎn).求證: .
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【題目】如圖,在△ABE和△ACF中,EB交AC于點(diǎn)M,交FC于點(diǎn)D,AB交FC于點(diǎn)N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.下列結(jié)論:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中,正確的是_________.(填序號(hào))
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(1)【特例探索】
如圖1,當(dāng)∠ABE=45°,c=2 時(shí),a= , b=;如圖2,當(dāng)∠ABE=30°,c=4時(shí),a= , b=;
(2)【歸納證明】
請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想a2 , b2 , c2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來(lái),請(qǐng)利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式;
(3)【拓展應(yīng)用】
如圖4,在ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是AD,BC,CD的中點(diǎn),BE⊥EG,AD=2 ,AB=3.求AF的長(zhǎng).
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【題目】如圖,拋物線 與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,連結(jié)AB.點(diǎn)C 在拋物線上,直線AC與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P在x軸的正半軸上,點(diǎn)Q在y軸正半軸上,連結(jié)PQ與直線AC交于點(diǎn)M,連結(jié)MO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N,若M為PQ的中點(diǎn).
①求證:△APM∽△AON;
②設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m , 求AN的長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示).
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