Question

已知：如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，CE、DF交于M．
（1）試判斷CE和DF的關系，并證明；
（2）求證：AM=AD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質，可得BC與AB的關系，∠B與∠DCB的關系，根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質，可得答案；
（2）延長DA、CE相交于點G，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可以求出AG=

1

2

GD，從而得到點A是GD的中點，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明

解答：（1）CE=DF，CE⊥DF，
證明：四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°．
∵E、F分別為AB、BC的中點，
∴BE=CF．
在△BCE和△CDF中，

BE=CF ∠B=∠FCD BC=CD

，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE=DF．
∴∠ECB=∠FDC．
∵∠FDC+∠DFC=90°，
∴∠MFC+∠FCM=90°，
∴∠FMC=90°，
∴CE⊥DF；
（2）證明：如圖，延長DA、CE相交于點G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴△GAE∽△GDC，
∴

GA

GD

=

AE

CD

，
∵E是正方形ABCD邊AB的中點，
∴CD=AB=2AE，
∴

GA

GD

=

1

2

，
即GA=

1

2

GD，
∴點A是GD的中點，
又∵DF⊥CE于點M，
∴AM=AD（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了全等三角形的判定與性質，直角三角形的判定；相似三角形的判定與性質，直角三角形的性質．