Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中點，P是BC邊上的一動點（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．
（1）試說明△PCM≌△QDM．
（2）當P在B、C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AD∥BC
∴∠QDM=∠PCM
∵M是CD的中點，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP
∴△PCM≌△QDM．

（2）解：當四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，
∴8-CP=5+CP，
∴CP=（8-5）÷2=1.5．
∴當PC=1.5時，四邊形ABPQ是平行四邊形．
分析：（1）要證明△PCM≌△QDM，可以根據(jù)兩個三角形全等四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．求證∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP．
（2）得出P在B、C之間運動的位置，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出．
點評：本題綜合考查全等三角形、平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定方法是解題的關鍵．