Question

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，CF⊥BE交BD于點(diǎn)G，F(xiàn)是垂足．求證：四邊形ABGE是等腰梯形．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：結(jié)合題意，欲證四邊形ABGE為等腰梯形，即證EG∥AB和AE=GB；通過分析，只要證明△ABE≌△BGC，即可得出AE=BG，即OE=OG，即證EG∥AB，即證四邊形ABGE是等腰梯形．

解答：證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=CO，
∠ABO=∠ABE+∠EBO=45°，
∠BCO=∠BCG+∠GCO=45°，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC+∠GCO=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠EBO+∠BEC=90°，
∴∠EBO=∠GCO，
∴∠ABE=∠BCG，
在△ABE和△BGC中，

∠ABE=∠BCG ∠BAC=∠OBC=45° AB=BC

∴△ABE≌△BGC，
∴AE=BG，
∴EO=GO，
∠OEG=∠OAB=45°
∴EG∥AB
∴AE=BG，
∴四邊形ABGE是等腰梯形．

點(diǎn)評：本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和等腰梯形的判定，解決本題的關(guān)鍵就是證明△ABE≌△BGC，從而可推出四邊形ABGE是等腰梯形．