Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（0，-

3

），點(diǎn)B在x軸上．已知某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且它的對(duì)稱軸為直線x=1．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)D為直線BC下方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，DE=n，n與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在拋物線上．是否存在以M、N、A、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求求出直線BC的解析式，然后求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后用點(diǎn)E的縱坐標(biāo)減去點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，整理即可得解；
（3）分①AB是平行四邊形的邊時(shí)，先求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，從而得解；②AB是對(duì)角線時(shí)，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，然后利用拋物線解析式計(jì)算求出縱坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)），
由拋物線的對(duì)稱性知B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
依題意得，

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=- 3

，
解得

a= 3 3 b=- 2 3 3 c=- 3

，
所以，二次函數(shù)的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

x-

3

；

（2）∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′（k≠0，k、b′是常數(shù)），
依題意得，

3k+b′=0 b′=- 3

，
解得

k= 3 3 b′=- 3

，
所以，直線BC的解析式為y=

3

3

x-

3

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，

3

3

m-

3

），
∴DE的長(zhǎng)度n=

3

3

m-

3

-（

3

3

m²-

2 3

3

m-

3

）=

3

3

m²-

3

m，
∵點(diǎn)D在直線BC下方，
∴0＜m＜3；

（3）①AB是平行四邊形的邊時(shí)，
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
若點(diǎn)N在y軸的左邊，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為-4，
所以，y=

3

3

×（-4）²-

2 3

3

×（-4）-

3

=7

3

，
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，7

3

），
若點(diǎn)N在y軸的右邊，則點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為4，
所以，y=

3

3

×4²-

2 3

3

×4-

3

=

5 3

3

，
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，

5 3

3

）；
②AB是對(duì)角線時(shí)，∵點(diǎn)M在y軸上，拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，
∴y=

3

3

×2²-

2 3

3

×2-

3

=-

3

，
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-

3

）；
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-4，7

3

）或（4，

5 3

3

）或（2，-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間的距離，平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，（3）要分情況討論．