Question

【題目】如圖1，點在正方形的對角線上，正方形的邊長是，的兩條直角邊分別交邊于點．

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定點，使繞點旋轉，當時，四邊形是正方形．

填空：①當時，四邊形的邊長是_____；

②當（是正實數(shù)）時，四邊形的面積是______；

（2）猜想論證：如圖3，將四邊形的形狀改變?yōu)榫匦危?/span>，，點在矩形的對角線，的兩條直角邊分別交邊于點，固定點，使繞點旋轉，則______；

（3）拓展探究：如圖4，當四邊形滿足條件：，，時，點在對角線上，分別交邊于點，固定點，使繞點旋轉，請?zhí)骄?/span>的值，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）①先判定△PMC∽△ABC，再根據相似三角形的對應邊成比例進行求解；②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可；
（3）先過P作PG∥AB，作PH∥AD，并結合條件∠B+∠D=180°，判定△PGM∽△PHN，再根據相似三角形的性質以及平行線分線段成比例定理進行推導計算即可．

（1）①

，，，，，，，，即，，

∵四邊形是正方形，∴四邊形的邊長是．

②

當時，，，，∴四邊形的面積為．

（2）

如圖，

過點作于點，于點，則，，又，，，．由，，得，，，，即，．

（3）．理由如下：

如圖，過點作交于點，交于點，則，

，，

即，

，

，，

又，，

，．

由，，得，，

，

即，．