Question

已知：如圖①，正方形ABCD與矩形DEFG的邊AD、DE在同一直線l上，點G在CD上．正方形ABCD的邊長為a，矩形DEFG的長DE為b，寬DG為3（其中a＞b＞3）．若矩形DEFG沿直線l向左以每秒1個單位的長度的速度運動（點D、E始終在直線l上）．若矩形DEFG在運動過程中與正方形ABCD的重疊部分的面積記作S，運動時間記為t秒（0≤t≤m），其中S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．矩形DEFG的頂點經(jīng)運動后的對應點分別記作D′、E′、F′、G′．
（1）根據(jù)題目所提供的信息，可求得b=

 

，a=

 

，m=

 

；
（2）連接AG′、CF′，設以AG′和CF′為邊的兩個正方形的面積之和為y，求當0≤t≤5時，y與時間t之間的函數(shù)關系式，并求出y的最小值以及y取最小值時t的值；
（3）如圖③，這是在矩形DEFG運動過程中，直線AG′第一次與直線CF′垂直的情形，求此時t的值．并探究：在矩形DEFG繼續(xù)運動的過程中，直線AG′與直線CF′是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，請畫出圖形，并求出t的值；否則，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由圖②的函數(shù)圖象知：從第4-5秒，S的值恒為12，即此時矩形全部落在正方形的內(nèi)部，由此可求得兩個條件：①矩形的面積為12，②正方形的邊長為1+DE，根據(jù)這兩個條件求解即可．
（2）當0≤t≤5時，矩形在直線AB的左側(cè)，可用t表示出AD′、PF′的長，易求得D′G、CP的長，即可用勾股定理求得AG′²、CF′²的值，即可得到y(tǒng)、t的函數(shù)關系式．
（3）此題要分五種情況討論：
①當0≤t＜4時，點E′在D點右側(cè)；由于∠HG′F′、∠HF′G′都是銳角，顯然直線AG′與CF′不可能平行；當兩條直線垂直時，△G′HF′是直角三角形，易證得△AD′G′∽△CPF′，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求得t的值；
②當t=4時，D、E′重合，此時直線DC與E′F′重合，顯然此時AG′與CF′既不平行也不垂直，因為過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行或垂直；
③當4＜t＜5時，矩形在正方形的內(nèi)部，延長G′F′交BC于P，延長AG′交CD于Q，此時∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，顯然AG′與CF′不可能垂直；當兩直線平行時，可證得△AD′G′∽△F′PC，進而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得t的值；
④當t=5時，此種情況與②相同；
⑤當5＜t＜9時，此時∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角，顯然AG′與CF′不可能平行；當兩直線垂直時，可延長CF′與AG′相交于點M，延長G′F′與CD相交于點P，通過證△AD′G′∽△CPF′來求得此時t的值．

解答：解：（1）由圖②知：從第4到第5秒時，S的值恒為12，此時矩形全部落在正方形的內(nèi)部，
那么矩形的面積為12，即可求得DE=4；
這個過程持續(xù)了1秒，說明正方形的邊長為：DE+1=5；
由于矩形的速度恒定，所以5～m也應該用4秒的時間，故m=5+4=9；
即：b=4，a=5，m=9．

（2）如圖，當0≤t≤5時，
∵AD′=5-t，D′G=3，PF′=4-t，CP=2，
∴y=9+（5-t）²+4+（4-t）²，
∴y=2（t-

9

2

）²+

27

2

，
∴當t=

9

2

時，y有最小值，y_最小值=

27

2

．

（3）①當0≤t＜4時，分別延長AG′和F′C；
如圖，由于∠1和∠2都是銳角，所以∠1+∠2＜180°，
所以AG′與CF′不可能平行．
設AG′與F′C的延長線交于點H，
當∠G′AD′=∠PCF′時，直線AG′⊥CF′；
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴

AD′

CP

=

D′G′

PF′

，
∴

5-t

2

=

3

4-t

，
解得t₁=2，t₂=7（不合題意，舍去）．

②當t=4時，由于點F′在CD上，而點G′不在直線AD上，
因為AD⊥CD，所以AG′不可能也垂直于CD
（因為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直）．
同樣，由于AB∥CD，而點G′不在直線AB上，
所以t=4時，AG′也不可能平行于CD（CF′）
（因為過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行）．

③4＜t＜5時，延長G′F′交PC于P，延長AG′交CD于Q，
由于∠CF′P是銳角，所以∠CF′G是鈍角，
所以∠CF′G+∠QGF′≠90°，所以AG′與CF′不可能垂直；
當∠G′AD′=∠CF′P時，AG′∥CF′，
易得△AD′G′∽△F′PC，
∴

AD′

F′P

=

D′G′

CP

，
∴

5-t

t-4

=

3

2

，
解得t=4.4．

④當t=5時，AG′與CF′既不可能垂直也不可能平行，理由同②．

⑤當5＜t＜9時，因為∠QG′F′與∠CF′G′都是鈍角，
所以∠QG′F′+∠CF′G′＞180°，
所以AG′與CF′不可能平行．
延長CF′與AG′相交于點M，延長G′F′與CD相交于點P；
當∠MG′F′+∠MF′G′=90°時，AG′⊥CF′；
又∵∠AG′D′+∠AG′F′=90°，∠MF′G′=∠CF′P，
∴∠AG′D′=∠CF′P，又∠AD′G′=∠F′PC，
∴△AD′G′∽△CPF′，
∴

AD′

CP

=

D′G′

F′P

，即

t-5

2

=

3

t-4

；
解得：t₁=2（不合題意，舍去），t₂=7；
所以，綜上所述，當t=2或t=7時，直線AG′與直線CF′垂直，當t=4.4時，直線AG′與直線CF′平行．

點評：此題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)以及分段函數(shù)的應用等知識，同時還考查了分類討論的數(shù)學思想，難度較大．