Question

13．已知正方形ABCD，探究以下問題：
（1）如圖1，點F在BC上，作FE⊥BD于點E，取DF的中點G，連接EG、CG，將△EGC沿直線EC翻折到△EG′C，求證：四邊形EGCG′是菱形；
（2）如圖2，點F是BC外一點，作FE⊥BC于點E，且BE=EF，連接DF，取DF的中點G，將△EGC沿直線EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于點M，請問（1）中的結(jié)論”四邊形EGCG′是菱形”是否依然成立，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若圖2中AB=4，設(shè)BE長為x，四邊形EGCG′的面積為S，請求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出CG=$\frac{1}{2}$DF、EG=$\frac{1}{2}$DF，從而得出CG=EG，根據(jù)圖形翻轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知四邊形EGCG′四條邊相等，由此證出結(jié)論；
（2）連接BG、GM，由FE⊥BC于點E，且BE=EF可知△BEF為等腰直角三角形，結(jié)合∠DBC=45°即可得出∠DBF=90°，從而得出BG=$\frac{1}{2}$DF，同理亦可得出MG=$\frac{1}{2}$DF，即BG=MG，由FE⊥BC、FM⊥CD得出四邊形EFMC為矩形，即BE=EF=MC，再由角與角間的關(guān)系可得出∠GBE=∠GMC，滿足三角形的判定定義SAS，證出△GBE≌△GMC，即得出GE=GC結(jié)合（1）即可得出四邊形EGCG′還是菱形；
（3）過點G′作G′N⊥CE于點N，由△GBE≌△GMC可得出∠BEG=∠MCG，由外角的性質(zhì)及角與角間的關(guān)系可得出∠EGC=∠ECM=90°，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可用x表示出G′N，由三角形的面積公式即可得出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DCF=90°．
∵G為線段DF的中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$DF．
∵FE⊥BD，
∴∠FED=90°，
∵G為線段DF的中點，
∴EG=$\frac{1}{2}$DF，
∴CG=EG．
∵將△EGC沿直線EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四邊形EGCG′四條邊相等，
∴四邊形EGCG′是菱形．
（2）（1）中的結(jié)論”四邊形EGCG′是菱形”依然成立．
證明：在圖2中，連接BG，GM，如圖所示．

∵FE⊥BC于點E，且BE=EF，
∴△BEF為等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DBE=45°，
∴∠DBF=∠DBE+∠EBF=90°．
∵G為線段DF的中點，
∴BG=$\frac{1}{2}$DF．
∵FM⊥CD于點M，
∴∠DMF=90°，
∵G為線段DF的中點，
∴MG=$\frac{1}{2}$DF，
∴BG=MG．
∵FE⊥BC，F(xiàn)M⊥CD，
∴四邊形EFMC為矩形，
∴EF=CM．
∴BE=EF=MC．
∵BG=GD，MG=GD，
∴∠DBG=∠BDG，∠GMD=∠GDM，
∵∠DBC=∠CDB=45°，
∴∠GBE=∠DBC-∠DBG=45°-∠BDG，∠GMC=∠GDM=∠CBD-∠BDG=45°-∠BDG，
∴∠GBE=∠GMC．
在△GBE和△GMC中，有$\left\{\begin{array}{l}{BG=MG}\\{∠GBE=∠GMC}\\{BE=MC}\end{array}\right.$，
∴△GBE≌△GMC（SAS）．
∴GE=GC．
∵將△EGC沿直線EC翻折到△EG′C，
∴CG=CG′，EG=EG′，
∴四邊形EGCG′四條邊相等，
∴四邊形EGCG′是菱形．
（3）在圖2的基礎(chǔ)上過點G′作G′N⊥CE于點N，如圖3所示．

∵△GBE≌△GMC，
∴∠BEG=∠MCG，
∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，∠MCG=∠MCG+∠ECM，
∴∠EGC=∠ECM=90°．
∴∠EG′C=90°，△EG′C為等腰直角三角形．
∵AB=4，BE=x，
∴EC=BC-BE=4-x，G′N=$\frac{1}{2}$EC=2-$\frac{x}{2}$．
四邊形EGCG′的面積S=2×$\frac{1}{2}$EC•G′N=（4-x）（2-$\frac{x}{2}$）=$\frac{1}{2}$x²-4x+8（0＜x＜4）．

點評 本題考查了直角三角形中線的性質(zhì)、菱形的判定定理、三角形的面積公式、全等三角形的判定及性質(zhì)、圖形的翻轉(zhuǎn)變換以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）找出CG=EG；（2）證明△GBE≌△GMC；（3）用含x的代數(shù)式表示G′N．本題屬于中檔題，（1）（3）難度不大；（2）難度不小，再證明GBE≌△GMC時，尋找∠GBE=∠GMC是難點．解決該題型題目時，通過全等三角形的性質(zhì)尋找邊角關(guān)系是關(guān)鍵．