Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，E是內(nèi)心，AE延長(zhǎng)線交△ABC外接圓于D，以下四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是
①BE=AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：根據(jù)E是內(nèi)心，可得出∠CAD=∠BAD，則點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，又由AC=BC，得CE⊥AB；則延長(zhǎng)BE交圓于一點(diǎn)也一定是弧AC的中點(diǎn)，則BE=AE；根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出三角形DEB與ABC三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等．則三角形DEB與ABC相似，從而得出第4個(gè)結(jié)論正確．
解答：∵E是內(nèi)心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，
∵AC=BC，且CE為∠ACB的平分線，
∴CE⊥AB（三線合一），選項(xiàng)②正確；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，AE=AE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，選項(xiàng)①正確；
∵∠CAD=∠BAD，
∴=，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，選項(xiàng)③正確；
∵△ABC和△BED都為等腰三角形，且兩頂角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴=，
∴=，
∵DE=DB，BE=AE，
∴，選項(xiàng)④正確，
∴正確結(jié)論有4個(gè)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)心，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．