Question

如圖1，P是△ABC邊AC上的動點，以P為頂點作矩形PDEF，頂點D，E在邊BC上，頂點F在邊AB上；△ABC的底邊BC及BC上的高的長分別為a，h，且是關(guān)于x的一元二次方程mx²＋nx＋k＝0的兩個實數(shù)根，設(shè)過D，E，F(xiàn)三點的⊙O的面積為S_⊙O，矩形PDEF的面積為S_矩形PDEF．

(1)求證：以a＋h為邊長的正方形面積與以a、h為邊長的矩形面積之比不小于4；

(2)求的最小值；

(3)當(dāng)的值最小時，過點A作BC的平行線交直線BP與Q，這時線段AQ的長與m，n，k的取值是否有關(guān)？請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一： 　　(1)據(jù)題意，∵a＋h＝． 　　∴所求正方形與矩形的面積之比：　　1分 　　∵n2－4mk≥0，∴n2≥4mk，由知同號，∴mk＞0　　2分 　　(說明：此處未得出mk＞0只扣1分，不再影響下面評分) 　　∴　　3分 　　即正方形與矩形的面積之比不小于4． 　　(2)∵∠FED＝90°，∴DF為⊙O的直徑． 　　∴⊙O的面積為：．　　4分 　　矩形PDEF的面積：S矩形PDEF＝EF·DE． 　　∴面積之比：設(shè) 　　 　　　　6分 　　　　5分 　　∵，∴ 　　∴，即F＝1時(EF＝DE)，的最小值為　　7分 　　(3)當(dāng)的值最小時，這時矩形PDEF的四邊相等為正方形． 　　過B點過BM⊥AQ，M為垂足，BM交直線PF于N點，設(shè)FP＝e， 　　∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN＝EF，∴BN＝FP＝e． 　　由BC∥MQ，得：BM＝AG＝h． 　　∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP， 　　∴△FBP∽△ABQ．　　8分 　　(說明：此處有多種相似關(guān)系可用，要同等分步驟評分) 　　∴，　　9分 　　∴．∴　　10分 　　　　11分 　　∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關(guān)． 　　(解題過程敘述基本清楚即可) 　　解法二： 　　(1)∵a，h為線段長，即a，h都大于0， 　　∴ah＞0　　1分(說明：此處未得出ah＞0只扣1分，再不影響下面評分) 　　∵(a－h(huán))2≥0，當(dāng)a＝h時等號成立． 　　故，(a－h(huán))2＝(a＋h)2－4ah≥0．　　2分 　　∴(a＋h)2≥4ah， 　　∴≥4．　　3分 　　這就證得≥4．(敘述基本明晰即可) 　　(2)設(shè)矩形PDEF的邊PD＝x，DE＝y(tǒng)，則⊙O的直徑為． 　　S⊙O＝　　4分，S矩形PDEF＝xy 　　＝ 　�。�　　6分 　　由(1)，． 　　∴． 　　∴的最小值是　　7分 　　(3)當(dāng)的值最小時， 　　這時矩形PDEF的四邊相等為正方形． 　　∴EF＝PF．作AG⊥BC，G為垂足． 　　∵△AGB∽△FEB，∴　　8分 　　∵△AQB∽△FPB，，9分 　　∴＝． 　　而EF＝PF，∴AG＝AQ＝h，10分 　　∴AG＝h＝， 　　或者AG＝h＝　　11分 　　∴線段AQ的長與m，n，k的取值有關(guān)． 　　(解題過程敘述基本清楚即可)