Question

3．已知一個圓錐形的漏斗側(cè)面展開圖的圓心角為120°，圓錐的高為4．則圓錐的全面積（　�。�

• A． 6π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 20π

Answer 1

分析 設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得2πr=$\frac{120•π•R}{180}$，解得R=3r，再利用勾股定理得到r²+4²=R²，則可計算出r=$\sqrt{2}$，所以R=3$\sqrt{2}$，然后計算底面積與側(cè)面積的和即可．

解答 解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，
根據(jù)題意得2πr=$\frac{120•π•R}{180}$，解得R=3r，
∵r²+4²=R²，
∴r²+4²=9r²，解得r=$\sqrt{2}$，
∴R=3$\sqrt{2}$，
∴圓錐的全面積=π•（$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$•2π•$\sqrt{2}$•3$\sqrt{2}$=8π．
故選B．

點評 本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．解決本題的關(guān)鍵是得到圓錐底面圓的半徑與母線長的關(guān)系，進而通過勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和母線長．