Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=45°，邊長為1的正方形的一個頂點D在邊AC上，與△ABC另兩邊分別交于點E、F，DE∥AB，將正方形平移，使點D保持在AC上（D不與A重合），設(shè)AF=x，正方形與△ABC重疊部分的面積為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；
（2）x為何值時y的值最大？
（3）x在哪個范圍取值時y的值隨x的增大而減��？

Answer 1

解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．
在Rt△ADF中，∵∠A=45°，
∴∠ADF=45°=∠A，
∴AF=DF=x，
∴，
∴，
∴y=（DE+FB）×DF=（1-x+1-x）x=-（+1）x²+x．
∵點D保持在AC上，且D不與A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜x≤1，
∴0＜x≤．
故y=-（+1）x²+x，自變量x的取值范圍是0＜x≤；

（2）∵y=-（+1）x²+x，
∴當(dāng)＜時，y有最大值；

（3）∵y=-（+1）x²+x，0＜x≤，-＜0，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而減�。�
分析：（1）當(dāng)點D保持在AC上時，正方形與△ABC重疊部分為直角梯形DEBF，根據(jù)直角梯形的面積公式，只需用含x的代數(shù)式分別表示出上底DE、下底BF及高DF的長度即可．由△ADF為等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；則AD=x，下底BF=AB-AF=1-x；進(jìn)而得出CD=AC-AD=1-x，再根據(jù)等腰三角形及平行線的性質(zhì)可證∠C=∠CED，得出上底DE=CD1-x；根據(jù)點D保持在AC上，且D不與A重合，可知0＜AD≤1，從而求出自變量x的取值范圍；
（2）由（1）知，y是x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知當(dāng)x=-時，y的值最大；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，當(dāng)a＜0時，在對稱軸x=-的右側(cè)，y的值隨x的增大而減�。�
點評：本題考查了正方形、平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角梯形的面積及二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．