Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中點，連接PG、PC．
（1）如圖1，當點G在BC邊上時，易證：PG=

3

PC．（不必證明）
（2）如圖2，當點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想，并給與證明；
（3）如圖3，當點F在CB的延長線上時，線段PC、PG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想（不必證明）．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,全等三角形的判定,菱形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）延長GP交DC于點E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=

3

PC．
（2）延長GP交DA于點E，連接EC，GC，先證明△DPE≌△FPG，再證得△CDE≌△CBG，利用在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=

3

PC．
（3）延長GP到H，使PH=PG，連接CH、DH，作FE∥DC，先證△GFP≌△HDP，再證得△HDC≌△GBC，在Rt△CPG中，∠PCG=60°，所以PG=

3

PC．

解答：
（1）提示：如圖1：延長GP交DC于點E，
利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，
∵△BGF是等邊三角形，
∴FG=BG，
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CE=CG，
∴CP是EG的中垂線，
在Rt△CPG中，∠PCG=60°，
∴PG=

3

PC．

（2）如圖2，延長GP交DA于點E，連接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形
∴GF∥BC∥AD，
∴∠EDP=∠GFP，
在△DPE和△FPG中

∠EDP=∠GFP DP=FP ∠DPE=∠FPG

∴△DPE≌△FPG（ASA）
∴PE=PG，DE=FG=BG，
∵∠CDE=∠CBG=60°，CD=CB，
在△CDE和△CBG中，

CD=CB ∠CDE=∠CBE=60° DE=BG

∴△CDE≌△CBG（SAS）
∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，
∴∠ECG=∠DCB=120°，
∵PE=PG，
∴CP⊥PG，∠PCG=

1

2

∠ECG=60°
∴PG=

3

PC．

（3）猜想：PG=

3

PC．
證明：如圖3，延長GP到H，使PH=PG，連接CH，CG，DH，作FE∥DC

∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，
∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，點A、B、G又在一條直線上，
∴∠GBC=120°，
∵△BFG是等邊三角形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，
即∠HCG=120°
∵CH=CG，PH=PG，
∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，
∴PG=

3

PC．

點評：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定等知識點，根據(jù)已知和所求的條件正確的構(gòu)建出相關(guān)的全等三角形是解題的關(guān)鍵．