Question

如圖，已知△OAB的頂點(diǎn)為A（-6，0），B（0，2），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC．
（1）寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）設(shè)過(guò)A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+6，求其解析式；
（3）證明AB⊥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OC=OB，進(jìn)而可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx+6，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）已知A、B、E三點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得出AB²=40，BE²=40，AE²=80，則AB²+BE²=AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明AB⊥BE．

解答：（1）解：∵將△OAB繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
故答案為（2，0）；

（2）解：∵拋物線y=ax²+bx+6過(guò)點(diǎn)A（-6，0），C（2，0），
∴

36a-6b+6=0 4a+2b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=-2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-2x+6；

（3）證明：連接AE．
∵y=-

1

2

x²-2x+6=-

1

2

（x+2）²+8，
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，8）．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB²=6²+2²=40，BE²=（-2-0）²+（8-2）²=40，AE²=（-2+6）²+（8-0）²=80，
∴AB²+BE²=AE²，
∴AB⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理的逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度不大．運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是中考的�？键c(diǎn)，需熟練掌握．