Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

2

x+1與拋物線y=x²+bx+c將于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3，點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上一點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PB、PA．
（1）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m：
①用含有m的式子表示線段PC的長，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②若線段BC=DC，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在y=

1

2

x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-2；當(dāng)y=3時(shí)，x=4，依此可得A與B的坐標(biāo)；將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出c與b的值，即可確定出拋物線解析式；
（2）①設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E，由CP與y軸平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE與OA的長，得出sin∠AEO的值，即為sin∠ACP的值，由P的橫坐標(biāo)為m，分別代入直線與拋物線解析式得到兩個(gè)縱坐標(biāo)之差為PC的長，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可；
②若BC=DC，則△DCP面積與△BCP面積之比為1：1列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．

解答：解：（1）在y=

1

2

x+1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=-2；當(dāng)y=3時(shí)，x=4．
則A（-2，0）、B（4，3），
將A、B分別代入y=x²+bx+c中，得

4-2b+c=0 16+4b+c=3

，
解得b=-

3

2

，c=-7
∴所求解析式為y=x²-

3

2

x-7．

（2）①設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E，求得E（0，1），
∴∠ACP=∠AEO，
∴PD=PCsin∠ACP=

5

2

PC．
設(shè)P（m，m²-

3

2

m-7），則C（m，

1

2

m+1），
∴PC=（

1

2

m+1）-（m²-

3

2

m-7）=-m²+2m+8．
∴PD=

5

2

（-m²+2m+8）=-

5

2

（m-1）²+

9 5

2

．
∴PD的最大值為

9 5

2

，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-

15

2

）．
②過D作DF⊥CP，過B作BG⊥PQ，交PC延長線與點(diǎn)Q，

∵sin∠ACP=

5

2

，
∴cos∠ACP=

5

5

，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=

5

5

×（-m²+2m+8）=-

5

5

（m²-2m-8），
又∵BG=4-m，BC=DC，
∴S_△DCP=S_△BCP
即

1

2

DF•CP=

1

2

BG•CP
∴-

5

5

（m²-2m-8）=4-m
解得：m=4或m=

5

-2．
故當(dāng)m=4或m=

5

-2時(shí)，線段BC=DC．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的面積求法．