Question

如圖，OB是矩形OABC的對角線，拋物線y=-

1

3

x²+x+6經過B，C兩點，
（1）求點B的坐標：
（2）D、E分別是OC、OB上的點，OD=5，OE=2EB，過D、E的直線交x軸于F，試說明△FOE與△OBC是否相似；
（3）若點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內是否存在另一個點N，使以O、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線解析式可求C點坐標，根據拋物線的對稱性求B點坐標；
（2）作EG⊥x軸于點G，則EG∥BA，由平行得△OEG∽△OBH，利用相似比求OG，EG，確定E點坐標，再求直線DE的解析式，求OF及GF，利用比例證明△OGE∽△EGF，得出∠EOG=∠FEG，利用角的相等關系轉化，證明△FOE∽△OBC；
（3）存在．根據①四邊形ODMN為菱形，②四邊形ODNM為菱形，③四邊形OMDN為菱形，三種情況分別畫出圖形，根據菱形的性質及已知條件求N點坐標．

解答：解：（1）設x=0，則y=6，∴C（0，6），
又矩形OABC中，BC∥x軸，
∵拋物線y=-

1

3

x²+x+6經過B，C兩點，
∴B、C關于拋物線對稱軸x=

3

2

對稱，
∴B（3，6）；

（2）如圖1，作EG⊥x軸于點G，則EG∥BA，
∴△OEG∽△OBA，
∴

OE

OB

=

OG

OA

=

EG

AB

，
又∵OE=2EB，
∴

OE

OB

=

2

3

，∴

2

3

=

OG

3

=

EG

6

，
∴OG=2，EG=4，∴E（2，4），
又∵D（0，5），設直線DE解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 b=5

，解得

k=- 1 2 b=5

，
∴直線DE解析式為y=-

1

2

x+5，
當y=0時，x=10，則OF=10，GF=OF-OG=8，
∴

OG

GE

=

2

4

=

GE

GF

=

4

8

，
又∠OGE=∠EGF=90°，∴△OGE∽△EGF，
∴∠EOG=∠FEG，∴∠FEO=∠FEG+∠OEG=∠EOG+∠OEG=90°=∠OCB，
BC∥x軸，則∠OBC=∠EOF，
∴△FOE∽△OBC；

（3）存在．
①如圖1，當OD=DM=MN=NO=5時，四邊形ODMN為菱形，
作MP⊥y軸于點P，則MP∥x軸，∴△MPD∽△FOD，∴

MP

OF

=

PD

OD

=

MD

FD

，
又∵OF=10，在Rt△ODF中，FD=

OD2+OF2

=

52+102

=5

5

，
∴

MP

10

=

PD

5

=

5

5 5

，∴MP=2

5

，PD=

5

，
∴M（-2

5

，5+

5

），N（-2

5

，

5

）；
②如圖2，當OD=DN=MN=MO=5時，四邊形ODNM為菱形，
延長NM交x軸于P，則MP⊥x軸，
∵點M在直線y=-

1

2

x+5上，∴設M（a，-

1

2

a+5），
在Rt△OPM中，OP²+PM²=OM²，a²+（-

1

2

a+5）²=5²，
解得a₁=4，a₂=0（舍去），
∴M（4，3），N（4，8）；
③如圖3，當OM=MD=DN=NO時，四邊形OMDN為菱形，
連接NM，交OD于點P，則NM與OD互相垂直平分，
∴y_M=y_N=

5

2

，∴-

1

2

x_M+5=

5

2

，x_M=5，
∴x_N=-x_M=-5，∴N（-5，

5

2

）．
綜上所述x軸上方的點N有三個，
分別是N₁（-2

5

，

5

），N₂（4，8），N₃（-5，

5

2

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據矩形、菱形的性質，結合題目的已知條件，分類討論．