Question

如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊作正方形BCDE，設(shè)正方形的中心為O（A不與O重合），連接AO，如果AB=6，AO=4

2

，那么AC的長等于

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：在AC上截取CF=AB，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OB=OC，∠BOC=90°，根據(jù)對頂角相等可得∠1=∠2，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ABO=∠FCO，然后利用“邊角邊”證明△ABO和△FCO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AO=FO，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AOB=∠FOC，再求出∠AOF=∠BOC=90°，然后判斷出△AOF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的

2

倍求出AF，再根據(jù)AC=AF+CF計算即可得解．

解答：解：如圖，在AC上截取CF=AB，
∵四邊形BCDE是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，∠1=∠2（對頂角相等），
∴∠ABO=∠FCO，
在△ABO和△FCO中，

OB=OC ∠ABO=∠FCO CF=AB

，
∴△ABO≌△FCO（SAS），
∴AO=FO，∠AOB=∠FOC，
∴∠AOF=∠BOC=90°，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∵AO=4

2

，
∴AF=

2

×4

2

=8，
∴AC=AF+CF=8+4=12．
故答案為：12．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰直角三角形．