Question

3．如圖，點(diǎn)P是等腰Rt△ABC底邊BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BA、AC的垂線，垂足為E、F，設(shè)點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，求證：△DEF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 欲證明△DEF是等腰直角三角形，只要證明DE=DF，∠EDF=90°，只要證明△DBE≌△DAF即可解決．

解答 證明：如圖，連接AD．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵BD=DC，
∴AD=BD=DC，
∴∠DAB=∠DAC=45°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA=∠EAF=∠AFP=90°，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴PE=AF，
∵∠PEB=90°，∠B=45°，
∴∠B=∠BPE=45°
∴BE=PE=AF，
在△BDE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DB=AD}\\{∠B=∠DAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DAF，
∴DE=DF，
∠BDE=∠ADF，
∴∠BDA=∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，屬于中考�？碱}型．