Question

6．如圖是一個二次函數(shù)的圖象，頂點是原點O，且過點A（2，1），
（1）求出二次函數(shù)的表達式；
（2）我們把橫、縱坐標都為整數(shù)的點稱為整點，請用整數(shù)n表示這條拋物線上所有的整點坐標．
（3）過y軸的正半軸上一點C（0，a）作AO的平行線交拋物線于點B，
①求出直線BC的函數(shù)表達式（用a表示）；
②如果點B是整點，求證：△OAB的面積是偶數(shù)．

Answer 1

分析 （1）可設拋物線的解析式為y=ax²，然后只需把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可解決問題；
（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數(shù)，只需x是偶數(shù)，故x可用2n表示（n為整數(shù)），由此就可解決問題；
（3）①可運用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，然后根據(jù)兩直線平行一次項的系數(shù)相同，就可得到直線BC的函數(shù)表達式；②由于點B是整點，點B的坐標可表示為（2n，n²），代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據(jù)平行等積法可得S_△OAB=S_△OAC=n（n-1），由于n與n-1是相鄰整數(shù)，必然一奇一偶，因而n（n-1）是偶數(shù)，問題得以解決．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²，
把A（2，1）代入y=ax²，得
1=4a，
解得a=$\frac{1}{4}$，
∴二次函數(shù)的表達式為y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）拋物線上整點坐標可表示為（2n，n²），其中n為整數(shù)；

（3）①設直線OA的解析式為y=kx，
把點A（2，1）代入y=kx，得
1=2k，
解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
則過點C（0，a）與直線OA平行的直線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+a；
②證明：∵點B是整點，
∴點B的坐標可表示為（2n，n²），其中n為整數(shù)，
把B（2n，n²）代入y=$\frac{1}{2}$x+a，得
n²=n+a，
∴a=n²-n=n（n-1）．
∵BC∥OA，
∴S_△OAB=S_△OAC=$\frac{1}{2}$×a×2=a=n（n-1）．
∵n為整數(shù)，∴n與n-1一奇一偶，
∴n（n-1）是偶數(shù)，
∴△OAB的面積是偶數(shù)．

點評 本題主要考查了運用待定系數(shù)法求直線與拋物線的解析式、兩直線平行問題、直線上點的坐標特征、平行等積法、奇數(shù)與偶數(shù)等知識，運用平行等積法是解決第（3）②小題的關(guān)鍵．