Question

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=8cm，BC=18cm，CD=10，點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3cm的速度移動，點Q從點D開始沿DA邊向終點A以每秒2cm的速度移動，設運動時間為t秒，聯(lián)結PQ．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）在P、Q的運動過程中，當t取何值時，線段PQ與CD相等？
（3）當t=2時，在線段AB上是否存在一點M，使得∠QPM=90°？若存在，請求BM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，過D作DE⊥BC于E，構建矩形ADEB和直角△DEC．利用矩形的性質和勾股定理易求AD=12，然后根據梯形面積公式進行解答；
（2）需要分類討論：四邊形PCDQ為平行四邊形和等腰梯形兩種情況；
（3）存在．t=2時，BP=6，AQ=12-4=8．設BM=x，則AM=8-x．由勾股定理知：PM²+PQ²=MQ²，即6²+x²+68=8²+（8-x）²，易求BM=

3

2

cm．

解答：解：（1）如圖1，過D作DE⊥BC于E．
∵梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
∴DE∥AB．
∴四邊形ABCD是矩形．
∴DE=AB=8，AD=BE．
在Rt△DEC中，由勾股定理，得
EC=

DC2-DE2

=

102-82

=6
∴BE=AD=18-6=12，
∴S梯=

1

2

(AD+BC)•AB=

1

2

(12+18)×8=120；

（2）在四邊形PCDQ中，DQ∥PC，而PQ=DC．
①如圖2，當四邊形PCDQ是平行四邊形時，DQ=PC，則2t=18-3t，
解得 t=

18

5

；
②如圖3，當四邊形PCDQ是等腰梯形時，過Q作QF⊥BC．
則DQ=EF，2t=18-3t-6-6，
解得 t=

6

5

．
綜上所述，當t=

18

5

或

6

5

秒時，線段PQ與CD相等．
另解：作QF⊥BC于F，則AQ=BF=12-2t，
∴PF=|12-2t-3t|=|12-5t|，
∴PQ²=（12-5t）²+8²．
∵PQ=CD，
∴（12-5t）²+8²=10²．
解得 t1=

18

5

t2=

6

5

．
∴t=

18

5

秒或

6

5

秒時，線段PQ與CD相等．

（3）存在．t=2時，BP=6，AQ=12-4=8．
設BM=x，則AM=8-x，
∴PM²=6²+x²，MQ²=8²+（8-x）²，PQ²=（12-5t）²+8²=68，
∵∠MPQ=90°，
∴PM²+PQ²=MQ²，
即 6²+x²+68=8²+（8-x）²，
解得x=

3

2

．
∴BM=

3

2

cm．

點評：本題綜合考查了梯形的面積公式，矩形的性質，勾股定理以及平行四邊形的判定與性質等綜合知識，難度較大，需要學生對四邊形的知識有一個系統(tǒng)的掌握．