Question

已知二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)A（-2，0），與y軸的交點(diǎn)為B（0，4），且其對(duì)稱軸與y軸平行．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并在所給出坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的大致圖象；
（2）在該二次函數(shù)位于A、B兩點(diǎn)之間的圖象上取上點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸、y軸的垂線段，垂足分別為點(diǎn)C、D．求矩形MCOD的周長(zhǎng)的最小值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求解，由題意可設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)=a（x+2）²，再將已知的B點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a，進(jìn)而得出拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），將其代入拋物線的解析式可得出m，n之間的關(guān)系式n=m²+4m+4；再由矩形周長(zhǎng)公式可得出周長(zhǎng)L與m，n之間的二次函數(shù)關(guān)系式L=2（n-m）；消去n可得出L與m二次函數(shù)關(guān)系式，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)式可求出結(jié)果．
解答：解：（1）由題意可知點(diǎn)A（-2，0）是拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²
∵其圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+2）²．

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），
則m＜0，n＞0，n=（m+2）²=m²+4m+4，
設(shè)矩形MCOD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)；
則L=2（MC+MD）=2（|n|+|m|）
=2（n-m）
=2（m²+4m+4-m）
=2（m²+3m+4）
=2（m+）²+；
當(dāng)m=時(shí)，L有最小值，此時(shí)n=；
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、矩形周長(zhǎng)的計(jì)算方法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．