Question

正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時，求證：AF+BF=2OE；
（2）當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2時．線段 AF，BF與OE具有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（3）當(dāng)運(yùn)動到圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）過點(diǎn)B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；
（2）圖2，過點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF-EF=AE，整理即可得證；
（3）圖3，作OG⊥BF于G，可得四邊形EFGO是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=GO，GF=EO，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△BOG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=OE，AE=BG，再根據(jù)BF-BG=GF，整理即可得證．

解答：（1）證明：如圖1，過點(diǎn)B作BG⊥OE于G，
則四邊形BGEF是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，

∠AOE=∠OBG  ∠AEO=∠OGB=90°  OA=OB

，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF，
∴AF-OE=OE-BF，
∴AF+BF=2OE；
（2）圖2，結(jié)論：AF-BF=2OE，
證明：過點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長線于G，
則四邊形GFEB是矩形，
∴EF=BG，BF=GE，
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∵BG⊥OE，
∴∠OBG+∠BOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠OBG，
∵在△AOE和△OBG中，

∠AOE=∠OBG  ∠AEO=∠OGB=90°  OA=OB

，
∴△AOE≌△OBG（AAS），
∴OG=AE，OE=BG，
∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，
∴AF-OE=OE+BF，
∴AF-BF=2OE；
（3）圖3，結(jié)論：BF-AF=2OE．
理由：作OG⊥BF于G，
則四邊形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
在△AOE和△BOG中，

∠AOE=∠BOG ∠AEO=∠BGO OA=OB

，
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
∵AE-EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF-AF=BG+GF-（AE-EF）=AE+OE-AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF-AF=2OE．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與矩形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．