Question

如圖，已知C，D是雙曲線（x＞0）上的兩點，直線CD分別交x軸，y軸于A，B兩點．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），連接OC，OD（O是坐標原點），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C，D的坐標和m的值；
（2）雙曲線存在一點P，使得△POC和△POD的面積相等，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下判斷點P是否為△OCD的重心．
（4）已知點Q（-2，0），問在直線AC上是否存在一點M使△MOQ的周長L取得最短？若存在，求出L的最小值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點C作CG⊥x軸于G，
則CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y₁=3x₁，
又∵OC=，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴點C的坐標為C（1，3）．
又點C在雙曲線上，可得：m=3，
過D作DH⊥y軸于H，則DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即y₂=3x₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不符合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴點D的坐標為D（3，1）；

（2）雙曲線上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，
這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的交點，
故P點坐標為（，），
∵點D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴點P在∠COD的平分線上，
則∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．

（3）延長OP交CD于M，
∵C（1，3），D（3，1），
∴根據(jù)勾股定理OC=OD=，
∵點P在∠COD的平分線上，
∴M為CD中點，
∴M（2．，2），
∵P點坐標為（，），
∴OP=，PM==-+2
即OP≠2PM，
∴P不是△OCD的重心．

（4）∵點C的坐標為C（1，3），點D的坐標為D（3，1），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
則有，解得．
∴直線CD的解析式為y=-x+4，
∵Q（-2，0），假設(shè)存在M（a，-a+4），則點M關(guān)于x軸的對稱點M′為（a，4-a），
∴△MOQ的周長L=2+
=2+，
所以當a=1時，周長L取最小值為2+3，
此時點M（1，3），故L取最小值為2+3．
分析：（1）過點C作CG⊥x軸于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的長，就得到C點的坐標．根據(jù)待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)的解析式．過D作DH⊥y軸于H，則DH=y₂，OH=x₂，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y₂=3x₂，由x₂y₂=3解得DH的長，進而求出OH，得到D點的坐標．
（2）雙曲線上存在點P，使得S_△POC=S_△POD，這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的交點，易證△POC≌△POD，則S_△POC=S_△POD．
（3）根據(jù)點P到三個頂點的距離即可判斷是否為三角形△OCD的重心；
（4）先求出直線CD的解析式，表示出△MOQ的周長L，根據(jù)配方法即可求解．
點評：本題考查了解直角三角形及三角形的重心等知識，難度較大，關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及角平分線的性質(zhì)．