Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，過A作AD⊥x軸于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

1

2

（1）求一次函數(shù)的解析式及△AOB的面積．
（2）已知反比例函數(shù)y₁和一次函數(shù)y₂，結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍．
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P使△OAP為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OB，在Rt△AOD中，由勾股定理求OD、AD，確定A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積不變，求B點(diǎn)縱坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線AB的解析式，根據(jù)直線AB的解析式求OC的長，求△AOB的面積；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可求當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍；
（3）①當(dāng)AO為等腰三角形的底時(shí)，作線段OA的中垂線，與坐標(biāo)軸相交，有兩交點(diǎn)為所求P點(diǎn)；
②當(dāng)OA為腰，點(diǎn)A為頂點(diǎn)時(shí)，以A為圓心，OA長為半徑圓弧，與坐標(biāo)軸相交，有兩交點(diǎn)為所求P點(diǎn)；
當(dāng)OA為腰，點(diǎn)O為頂點(diǎn)時(shí)，以O(shè)為圓心，OA長為半徑圓弧，與坐標(biāo)軸相交，有四個(gè)交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)．

解答：解：（1）如圖，連接OB，在Rt△AOD中，OA=

5

，AD=

1

2

OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，故A（-2，1），設(shè)B點(diǎn)縱坐標(biāo)為h，已知B點(diǎn)橫坐標(biāo)為

1

2

，
則（-2）×1=

1

2

h，
解得h=-4，
故B（

1

2

，-4），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，則

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
得

k=-2 b=-3

，
直線AB解析式為y=-2x-3，由此可得C（-

3

2

，0），
所以，S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×（1+4）=

15

4

；

（2）當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍是：-2＜x＜0或x＞

1

2

；

（3）存在點(diǎn)P使△OAP為等腰三角形，
此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

4

，0），（0，

5

2

），（-4，0），（0，2），（-

5

，0），（

5

，0），（0，

5

），（0，-

5

）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的特點(diǎn)求B點(diǎn)坐標(biāo)，確定直線AB的解析式，再結(jié)合圖象的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)解題．