Question

如圖，已知BC為半圓O的直徑，

AB

=

AF

，AC與BF交于點(diǎn)M．
（1）若∠FBC=α，求∠ACB的度數(shù)（用α表示）；
（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，交BF于E，求證：BE=EM．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）先由BC為半圓O的直徑，根據(jù)圓周角定理得出AB⊥AC，那么∠ABF+∠FBC+∠ACB=90°①，再由

AB

=

AF

，根據(jù)圓周角定理得出∠ABF=∠ACB，代入①得2∠ACB+∠FBC=90°，再將∠FBC=α代入，即可求出∠ACB=45°-

1

2

α；
（2）先證明BE=AE，再證明EM=AE，即可證明BE=EM．

解答：解：（1）∵BC是直徑，
∴AB⊥AC，
∴∠ABF+∠FBC+∠ACB=90°．
∵弧AB=弧AF，
∴∠ABF=∠ACB，
∴2∠ACB+∠FBC=90°，
又∠FBC=α，
∴2∠ACB+α=90°，
∴∠ACB=45°-

1

2

α；

（2）∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BAE=∠ACB．
∵∠ABF=∠ACB，
∴∠BAE=∠ABF，
∴BE=AE．
∵∠AME=90°-∠ABF，∠EAM=90°-∠ACB，而∠ABF=∠ACB，
∴∠AME=∠EAM，
∴EM=AE．
∴BE=EM．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．