Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作
∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點(diǎn)E，射線MF交邊CD于點(diǎn)F，連接EF．
（1）指出圖中所有與△BME相似的三角形，并加以證明；
（2）如果△BME是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長．

Answer 1

解：（1）△BME∽△CFM，△BME∽△MEF，
證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，
∵∠CME=∠B+∠BEM，即∠CMF+∠FME=∠B+∠BEM
又∠FME=∠B，∴∠CMF=∠BEM，∴△BME∽△CFM，
∴∵M(jìn)B=MC，∴
∵∠EMF=∠B，∴△BME∽△MFE，

（2）∵BC=4，M是BC的中點(diǎn)，∴BM=CM=2，
若BM=BE=2，由（1）知，△BME∽△CFM，∴CF=CM=2，
∴E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，∴EF==3，
若BM=ME=2，過M作MH⊥BE于H，過A作AG⊥BC于G，
則△BMH∽△BAG，∴，
∴BH=，∴BE=1
由（1）知，△BME∽△MFE，∴=，∴EF=4
分析：（1）由已知∠EMF=∠B，利用外角的性質(zhì)證明∠CMF=∠BEM，由等腰三角形的性質(zhì)，得∠B=∠C，證明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B，證明△BME∽△MEF；
（2）當(dāng)△BME是以BM為腰的等腰三角形時(shí)，①若BE=BM=2，同理CM=CF=2，可知E、F分別是AB、DC的中點(diǎn)，由梯形中位線定理求解，②若BM=ME=2，過M作MH⊥BE于H，過A作AG⊥BC于G，利用相似比求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)．關(guān)鍵是等腰梯形的兩底角相等，利用外角的性質(zhì)得出角的相等關(guān)系，證明三角形相似．