Question

已知：一條拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為A（-2，0），與y軸相交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，交x軸于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）試探索：AC與BD能否互相垂直？如果能，請(qǐng)求出以這條拋物線為圖象的二次函數(shù)的解析式；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，得點(diǎn)B、C關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-4．
∴BC=4．
∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∴AD=4．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-6，0）．

（2）能．
要使AC與BD互相垂直，必須使平行四邊形ABCD是菱形，
即AB=BC=4．
∵AO=2，∴BO=2

3

，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2

3

）．
設(shè)所求的二次函數(shù)的解析式為y=a（x+2）²．
代入點(diǎn)B的坐標(biāo)，得2

3

=4a．
∴a=

3

2

．
∴當(dāng)二次函數(shù)的解析式為y=

3

2

x2+2

3

x+2

3

時(shí)，AC⊥BD．