Question

如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=

3

，對角線AC、BD相交于點O，直線BD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α度，交BC于點E，交AD于點F．
（1）不論α取何值時，四邊形AECF的形狀一定是

 

；
（2）若四邊形AECF恰好為菱形時，α的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）由于四邊形ABCD是矩形，故OB=OD，∠DBC=∠ADB，故△ODF≌△OBE，DF=BE，故AF=CE，故四邊形AECF是平行四邊形；
（2）由勾股定理可求出BD的長，由矩形的性質(zhì)可得出OD=OC，判斷出△DOC是等邊三角形，再由菱形的對角線互相垂直可得出∠α的度數(shù)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB=OD，∠DBC=∠ADB，
∴△ODF≌△OBE，DF=BE，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）∵矩形ABCD中，AB=1，BC=

3

，
∴BD=

AB2+AD2

=

12+( 3 )2

=2，
∴OD=OC=1，
∵CD=1，
∴△DOC是等邊三角形，
∴∠DOC=60°，
∵四邊形AECF為菱形，
∴∠COF=90°，
∴∠α=90°-60°=30°．
故答案為：平行四邊形，30°．

點評：本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、菱形的性質(zhì)，在解答此類問題時要熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即
①對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； ②對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．