Question

如圖所示：直線MN⊥RS于點O，點B在射線OS上，OB=2，點C在射線ON上，OC=2，點E是射線OM上一動點，連接EB，過O作OP⊥EB于P，連接CP，過P作PF⊥PC交射線OS于F．

（1）求證：△POC∽△PBF．
（2）當OE=1，OE=2時，BF的長分別為多少？當OE=n時，BF=______．
（3）當OE=1時，S_△EBF=S₁；OE=2時，S_△EBF=S₂；…，OE=n時，S_△EBF=S_n．則S₁+S₂+…+S_n=______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠OPB=∠CPF，得出∠OPC=∠BPF，再根據(jù)∠EOP=∠EOB=90，得出∠EOP=∠OBP，∠POC=∠PBF，即可證出△POC∽△PBF；                
（2）根據(jù)△POC∽△PBF，得出=，再根據(jù)△OPB∽△EOB，得出OE•BF=OC•OB=4，即可求出BF的長；
（3）根據(jù)已知條件當OE=1時，S_△EBF=S₁；OE=2時，S_△EBF=S₂；…，OE=n時，S_△EBF=S_n即可求出S₁+S₂+…+S_n=2n；
解答：解：（1）證明：∵∠OPB=∠CPF
∴∠OPC=∠BPF，
∵∠EOP=∠EOB=90，
∴∠EOP=∠OBP
∴∠POC=∠PBF
∴△POC∽△PBF；                 

（2）根據(jù)△POC∽△PBF
∴=，
∵△OPB∽△EOB
∴=，
∴=，
∴OE•BF=OC•OB=4                      
∴當OE=1時，BF=4；
當OE=2時，BF=2，
當OE=n時，BF=；

（3）根據(jù)題意得；
S₁+S₂+…+S_n=2n；
故答案為：2n．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進行解答，此題是一個綜合題，難度適中．