Question

11．求證：n是自然數(shù)時，n⁵-n一定能被30整除．

Answer 1

分析 利用因式分解的方法得到n⁵-n=n（n-1）（n+1）（n²+1），利用n是自然數(shù)，先判斷（n-1）n（n+1）能被6整除，再分類討論：n=5k，顯然原式能被5整除；n=5k+1時，n-1=5k顯然原式能被5整除；n=5k+2或n=5k+3時，可判斷n²+1 能被5整除，n=5k+4時，n+1能被5整除．于是得到無論n為何值，原式能被5整除，所以n是自然數(shù)時，n⁵-n一定能被30整除．

解答 證明：n⁵-n=n（n⁴-1）
=n（n²-1）（n²+1）
=n（n-1）（n+1）（n²+1），
∵n是自然數(shù)，
∴（n-1）n（n+1）為連續(xù)的三個自然數(shù)．
∴（n-1）n（n+1）能被2和3整除，即它一定能被6整除，
不妨設(shè)：n=5k，顯然原式能被5整除；
n=5k+1時，n-1=5k顯然原式能被5整除；
 n=5k+2時，n²+1=（5k+2）²+1=25k²+20k+4+1 能被5整除，顯然原式能被5整除；
n=5k+3時，n²+1=（5k+3）²+1=25k²+30k+10 能被5整除，顯然原式能被5整除；
n=5k+4時，n+1能被5整除．
綜上所述，無論n為何值，原式能被5整除，
∴n是自然數(shù)時，n⁵-n一定能被30整除．

點評 本題考查了因式分解的運用：利用因式分解解決求值問題；利用因式分解解決證明問題；利用因式分解簡化計算問題．也考查了分類討論思想的運用．