Question

20、已知：△ABC與△CDE都是頂角為36°的等腰三角形，BC=CD，AC與BD交于F，且B、C、E三點共線．
（1）求圖中共有多少個等腰三角形？并寫出來；
（2）要使△BCD≌△ACE，則頂角應(yīng)該為多少度？并證明．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的判定方法，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等，即有兩邊相等的三角形為等腰三角形．從中可以找出等腰三角形的個數(shù)．
（2）把△BCD≌△ACE作為條件，來求頂角的度數(shù)．可以知道其中有一個頂角相等，那么頂角的鄰邊相等．從而得出頂角．

解答：解：（1）圖中有五個三角形為等腰三角形，即：△ABC，△CDE，△BCD，△CFD，△AFB
△ABC，△CDE為等腰三角形是題目中的已知條件；
∵BC=CD，∴△BCD為等腰三角形；
∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°
∵∠CDE=36°，∴∠DCE=∠DEC=72°
∵且B、C、E三點共線，∴∠ACD=36°，∠DCE=∠CBD+∠BDC，∴∠CBD=∠BDC=36°
∵∠ACD=36°，∠BDC=36°，∴△CFD為等腰三角形；
∵∠BAC=36°，∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°-36°=36°
∴△AFB為等腰三角形．

（2）頂角為60°．
∵△BCD≌△ACE，
由（1）可知∠BCD=∠BCA+∠ACD=72°+36°=108°，
∠ACE=∠ACD+∠DCE=36°+72°=108°，
∴∠BCD=∠ACE，
∴BC=AC或CE，
當(dāng)BC=AC時，△ABC為等邊三角形，∴頂角為60°
當(dāng)BC=CE，∵BC=CD，∴CD=CE，△CDE為等邊三角形，∴頂角為60°．

點評：本題考查了等腰三角形的判定及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．