Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1與y軸交于點C．

（1）試用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標；

（2）將拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直線y＝﹣1翻折，得到的新拋物線與y軸交于點D，若m＞0，CD＝8，求m的值．

（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的條件下，當線段AB與拋物線y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一個公共點時，請求出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣1）；（2）m＝2；（3）2﹣≤k＜2+．

【解析】

（1）將拋物線的解析式化為頂點式即可求得結果；

（2）依題意根據(jù)對稱性求得OC=3，即可得m2﹣1=3，從而求得m的值；

（3）將點A(k+4，1)，點B(1，k2)代入拋物線，此時是線段AB與拋物線剛相交的時候，結合圖象分析即可得k的取值范圍，再求出AB的解析式，根據(jù)直線與拋物線只有一個交點可求出k的另外一個取值．

解：（1）∵y=x22mx+m21=(xm)21，

∴拋物線的頂點坐標為(m，1)；

（2）由y=x22mx+m21得，

∵CD=8，依題意由對稱性可知，點C到直線y=1的距離為4，

∴OC=3，

∴m2﹣1=3，解得：m=±2，

∵m＞0，

∴m=2；

（3）∵m=2，

∴拋物線為y=x24x+3，

當拋物線經過點A(k+4，1)時，或；

當拋物線經過點B(1，k2)時，k=2；

∴線段AB與拋物線y=x22mx+m21只有一個公共點時，由圖象得：

或，

設直線AB的解析式為：y=ax+b，將點A(k+4，1)，點B(1，k2)代入得：

，解得，

∴y=x+k3，

若直線AB與拋物線y=x22mx+m21只有一個公共點，

則x24x+3=x+ k3，即x25x+6k=0，=0，

∴=254×(6k)=0，

解得：，此時線段AB與拋物線y=x24x+3只有一個公共點，

綜上所述：當線段AB與拋物線y=x22mx+m21只有一個公共點時，

k的取值范圍是：或或．