Question

如圖，正方形ABCD中，∠EDF=45°，且∠EDF的兩邊分別與AB，BC交于E，F(xiàn)．試探究AE，EF，CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：EF=AE+FC．
理由：如圖所示：延長(zhǎng)BA至G，使AG=CF，連接DG，
∵在△ADG和△CDF中，

∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴DG=DF，∠ADG=∠CDF，
又∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠CDF=∠ADG+∠DAE=∠GDE=45°，
∴∠GDE=∠EDF，
在△DGE和△DFE中，
，
∴△DGE≌△DFE（SAS），
∴GE=EF，
又∵AG=CF，
∴EF=AE+FC．
分析：延長(zhǎng)BA至G，使AG=CF，連接DG，利用旋轉(zhuǎn)法證明△ADG≌△CDF，然后證明△DGE≌△DFE再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得EF=AE+FC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確找出圖形中相等的角以及相等的線段，正確作出輔助線是關(guān)鍵．