Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，其中點(diǎn)P從A開始，向點(diǎn)B以1個(gè)單位/s的速度行進(jìn)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，以1個(gè)單位/s 的速度向A行進(jìn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)行的時(shí)間為x秒，作PE⊥BC于點(diǎn)E，QF⊥BC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)行到AB中點(diǎn)的時(shí)候，求四邊形PEFQ的面積．
（2）在P、Q運(yùn)行過程中，四邊形PEFQ的面積S是否發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，如果不發(fā)生變化，求出S的值；
（3）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為G，在P、Q的運(yùn)行過程中，G的運(yùn)行路線是什么？說明理由．

Answer 1

解：（1）作AK⊥BC于K，
∵△ABC是等腰三角形，BC=6，
∴BK=CK=3，
∵AB=5，根據(jù)勾股定理得：AK=4，
∴sinB=sinC=，cosB=cosC=，
當(dāng)P運(yùn)行到AB中點(diǎn)時(shí)，由題意可得AP=AQ=，
PQ為△ABC的中位線，PQ=3，
∴四邊形PEFQ是矩形，PE=PB•sinB==2，
∴四邊形PEFQ的面積=2×3=6，
答：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)行到AB中點(diǎn)的時(shí)候，四邊形PEFQ的面積是6．

（2）解：不變，
∵AP=CQ=x，
∴BP=AQ=5-x，
在Rt△BPE中，BE=BP•cosB=（5-x），
在Rt△CQF中，CF=CQ•cosC=x，
∴BE+CF=（5-x）+x=3，
∴EF=6-3=3
同理可得：PE+QF=×5=4，
∴S=（PE+QF）×EF=×4×3=6．
答：不變，S的值是6．

（3）解：點(diǎn)Q的運(yùn)行路線是△ABC中平行于BC的中位線，
當(dāng)x=0時(shí)，G在AC的中點(diǎn)（設(shè)為M）處，
當(dāng)x=5時(shí)，G在AB的中點(diǎn)（設(shè)為N）處，
由（1）可得ME=NF=2，
當(dāng)0＜x＜5時(shí)，如圖，作GZ⊥BC于Z，QH⊥PE于H，交GZ于T，
易證GT是△PHQ的中位線，GT=PH，四邊形TZEH是矩形，TZ=（HE+QF），
∴GZ=（PE+QF）=2
∴點(diǎn)Q在MN上，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)行路線是點(diǎn)Q的運(yùn)行路線是△ABC中平行于BC的中位線，
答：線段PQ的中點(diǎn)為G，在P、Q的運(yùn)行過程中，G的運(yùn)行路線是△ABC中平行于BC的中位線．
分析：（1）作AK⊥BC于K，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BK=CK=3，根據(jù)勾股定理求出AG，進(jìn)一步求出sinB=sinC=，cosB=cosC=，由PQ為△ABC的中位線求出PQ，PE，根據(jù)面積公式求出即可；
（2）求出BE=BP•cosB=（5-x），CF=CQ•cosC=x，得出BE+CF=3，求出EF長(zhǎng)，同理可得：PE+QF=×5=4，即可求出面積；
（3）點(diǎn)Q的運(yùn)行路線是△ABC中平行于BC的中位線，分為以下幾種情況：當(dāng)x=0時(shí)，G在AC的中點(diǎn)（設(shè)為M）處；當(dāng)x=5時(shí)，G在AB的中點(diǎn)（設(shè)為N）處；當(dāng)0＜x＜5時(shí)，如圖，作GZ⊥BC于Z，QH⊥PE于H，交GZ于T，由（1）可證Q在中位線上；即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．