Question

5．如圖，二次函數(shù)y=a（x²-4x+3）（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)
（1）若△ABD為直角三角形，求此二次函數(shù)的解析式；
（2）P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)t是大于3的常數(shù)，試問是否存在一個(gè)正數(shù)a，使得四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等（即這四條線段能構(gòu)成平行四邊形）？請(qǐng)說明理由．
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得△OAC沿AC翻折后，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′落在△ABC的外部？若存在，求出a的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、D坐標(biāo)，理由等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題．
（2）存在．先求出直線CD解析式，再求出線段CD的垂直平分線的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，觀察點(diǎn)P縱坐標(biāo)即可解決問題．
（3）存在．如圖2中，作AF⊥BC，垂足為F，求出OA=AF時(shí)，OC的長(zhǎng)即可解決問題．

解答 解：（1）令y=0，則x²-4x+3=0，
解得x=3或1，
∴A（1，0）．B（3，0），
又∵y=a（x-2）²-a，
∴頂點(diǎn)D（2，-a），
∵△ABD是直角三角形，DA=DB，
∴|-a|=$\frac{1}{2}$AB，
|-a|=1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴二次函數(shù)解析式為y=x²-4x+3，
（2）存在．
理由：如圖1中，∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，
∴PA=PB，
∵四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等，
∴PC=PD，設(shè)點(diǎn)P（2，t），
∵C（0，3a），D（2，-a），
∴直線CD解析式為y=-2ax+3a，線段CD的垂直平分線的解析式為y=$\frac{1}{2a}$x+a-$\frac{1}{2a}$，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)t=$\frac{1}{2a}$+a，
∴當(dāng)a=3時(shí)，t＞3，
∴存在一個(gè)正數(shù)a，使得四邊形PA、PB、PC、PD與一個(gè)平行四邊形的四條邊對(duì)應(yīng)相等．
（3）如圖2中，作AF⊥BC，垂足為F，
當(dāng)OA=AF=1時(shí)，在RT△AFB中，∵AB=2，AF=1，
∴AB=2AF，
∴∠ABF=30°，
∴在RT△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，OB=3，
∴OC=OB•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
由圖象可知當(dāng)0＜3a＜$\sqrt{3}$時(shí)，即0＜a$＜\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′落在△ABC的外部．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換，直角三角形30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，第三個(gè)問題的關(guān)鍵是求出AF=OA時(shí)OC的長(zhǎng)，屬于中考?jí)狠S題．