Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=-x²+2x+5，點A為拋物線上一點，且坐標(biāo)為（-1，a）．
（1）求a的值．
（2）點B為對稱軸上一點，連接AB，繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°，恰與第三象限的拋物線交于一點C，求點C的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，對稱軸上有一點D，點E在CD的延長線上，且CD=3DE，當(dāng)tan∠DAE=$\frac{1}{2}$時，求點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A點坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a的值；
（2）先求出拋物線的對稱軸，并在對稱軸上待定點B（1，b），過點A，C向軸作垂線，運用全等三角形對應(yīng)邊相等建立方程求出b的值，進一步確定點C坐標(biāo)；
（3）過點A作y軸的平行線，在此線上取點M，N，使tan∠EMA=$\frac{1}{2}$，tan∠DNA=$\frac{1}{2}$，易證△EMA∽△AND，得出$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，設(shè)點E（2，m），可求：AM=4+m，ME=$3\sqrt{5}$，AN=$\frac{27}{4}-\frac{3}{4}m$，DN=$2\sqrt{5}$，代入即可求解．

解答 解：（1）把點A（-1，a）代入y=-x²+2x+5得，a=-1-2+5=2，
所以a=2；
（2）如圖1：

y=-x²+2x+5的對稱軸為：x=1，
設(shè)點B（1，b），點C（x，-x²+2x+5），
分別過點A，C作平行于y軸的直線，過點B作平行于x軸的直線，交點為G，F(xiàn)，可知∠AGB=∠CFB=∠ABC=90°，
∴∠ABG=∠BCF，
∵AB=BC，
在△ABG和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGB=∠CFB}\\{∠ABG=BCF}\\{AB=BC}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△BCF（AAS），
∴AG=BF，BG=CF，
由AG=2-b，BF=1-x，CF=b-（-x²+2x+5），BG=2，
∴2-b=1-x，
b-（-x²+2x+5）=2，
解得：b=-1，x=-2，
y=-x²+2x+5=-3，
所以點C（-2，-3）；

（3）如圖2：

過點A作y軸的平行線，在此線上取點M，N，使tan∠EMA=$\frac{1}{2}$，tan∠DNA=$\frac{1}{2}$，
易證△EMA∽△AND，
∴$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，
設(shè)點E（2，m）
可求：AM=4+m，ME=$3\sqrt{5}$，AN=$\frac{27}{4}-\frac{3}{4}m$，DN=$2\sqrt{5}$，
代入$\frac{ME}{AM}=\frac{AN}{ND}$，解得：m=1或m=4，
所以點E（2，1）或點E（2，4）．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會根據(jù)已知找到全等三角形，運用線段相等和相似建立等量關(guān)系，設(shè)出點的坐標(biāo)建立方程并準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵．