如圖,半徑為2的⊙C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0).若拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在說明理由;
(3)若點(diǎn)M是拋物線(在第一象限內(nèi)的部分)上一點(diǎn),△MAB的面積為S,求S的最大(小)值.

【答案】分析:(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式.因?yàn)橐阎狝(3,0),所以需要求得B點(diǎn)坐標(biāo).如答圖1,連接OB,利用勾股定理求解;
(2)由∠PBO=∠POB,可知符合條件的點(diǎn)在線段OB的垂直平分線上.如答圖2,OB的垂直平分線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),因此所求的P點(diǎn)有兩個(gè),注意不要漏解;
(3)如答圖3,作MH⊥x軸于點(diǎn)H,構(gòu)造梯形MBOH與三角形MHA,求得△MAB面積的表達(dá)式,這個(gè)表達(dá)式是關(guān)于M點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的極值求得△MAB面積的最大值.
解答:解:(1)如答圖1,連接CB.
∵BC=2,OC=1
∴OB==
∴B(0,
將A(3,0),B(0,)代入二次函數(shù)的表達(dá)式
,解得,
∴y=-x2+x+

(2)存在.
如答圖2,作線段OB的垂直平分線l,與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P1,P2
∵B(0,),O(0,0),
∴直線l的表達(dá)式為y=.代入拋物線的表達(dá)式,
得-x2+x+=;
解得x1=1+或x2=1-,
∴P1(1-,)或P2(1+,).

(3)如答圖3,作MH⊥x軸于點(diǎn)H.
設(shè)M(xm,ym),
則S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA-S△OAB
=(MH+OB)•OH+HA•MH-OA•OB
=(ym+)xm+(3-xm)ym-×3×
=xm+ym-
∵ym=-xm2+xm+,
∴S△MAB=xm+(-xm2+xm+)-
=xm2+xm
=(xm-2+
∴當(dāng)xm=時(shí),S△MAB取得最大值,最大值為
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題,重點(diǎn)考查二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)、圓的性質(zhì)、垂直平分線/勾股定理、面積求法等知識(shí)點(diǎn).第(2)問中注意垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)有兩個(gè),不要漏解;第(3)問中,重點(diǎn)關(guān)注圖形面積的求法以及求極值的方法.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,要求同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)要做到理解深刻、融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用,如此方能立于不敗之地.
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