Question

【題目】如圖，已知 OACB 的頂點(diǎn) O、A、B 的坐標(biāo)分別是（0，a）、（b，0），且a、b 滿足 b ．

（1）如圖 1，a= ，b= ，點(diǎn) C 的坐標(biāo) ．

（2）如圖 2，點(diǎn) P 為邊 OB 上一動點(diǎn)，將線段 AP 繞 P 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 90°至 PD．當(dāng)點(diǎn) P 從O 運(yùn)動到 B 的過程中，求點(diǎn) D 運(yùn)動路徑的長度．

（3）如圖 3，在（2）的條件下，作等腰 Rt△BED，且∠DBE＝90°，再作等腰 Rt△ECF， 且∠ECF＝90°，直線 FE 分別交 AC、OB 于點(diǎn) M、N，求證：FM＝EN．

Answer 1

【答案】（1）；；（，）；（2）；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù) b 可得且，從而確定a的值，代入求得b的值，然后利用平行四邊形的性質(zhì)確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為一條線段，則點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡也為一條線段，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)D的位置如圖1所示，點(diǎn)D的運(yùn)動路徑為BD，然后利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)算出BD=；

（3）由（2）點(diǎn)D的運(yùn)動路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線上，過點(diǎn)F作FG垂直AC于點(diǎn)G，過E作EH垂直AC于點(diǎn)H，已知△FCE為等腰直角三角形，可推出△FGC≌△CHE（AAS），過點(diǎn)E作EQ垂直OB于點(diǎn)Q，可推出△FGM≌△ENQ（AAS），可得FM=EN．

解：∵ b

∴且

解得

∴將代入 b

∴b=

∴A（0，）、B（，0）

∴OA=OB=，

∵四邊形OACB為平行四邊形，∠AOB=90°，

∴四邊形OACB為正方形，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

故答案為：；；（，）；

（2）如圖1所示，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為一條線段，則點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡也為一條線段，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時，點(diǎn)D的位置如圖1所示，

∴點(diǎn)D的運(yùn)動路徑為BD，

又∵線段 AP 繞 P 點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 90°至 PD且由（1）可知四邊形四邊形OACB為正方形

∴BD=AB=；

（3）如圖2所示，

由（2）點(diǎn)D的運(yùn)動路徑可知點(diǎn)D在∠OBC的外角平分線上，

∴∠DBC=∠EBC=∠EBO=45°，

∴ED∥OB，

過點(diǎn)F作FG垂直AC于點(diǎn)G，過E作EH垂直AC于點(diǎn)H，

∴∠FGC=∠EHC=90°，

∵△FCE為等腰直角三角形，

∴FC=EC，∠FCE=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠FCG=∠ECB=∠CEH，

∴△FGC≌△CHE（AAS），

∴CH=FG，

過點(diǎn)E作EQ垂直OB于點(diǎn)Q，

則BQ=EQ=CH=FG，

∵∠FGM=∠EQN=90°，

∠FMG=∠ENQ，

∴△FGM≌△ENQ（AAS），

∴FM=EN．