Question

20．如圖，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線BD平分∠ABC，∠ACB=72°，∠ABC=50°，并且∠BAD+∠CAD=180°，那么∠ADC的度數(shù)為（　�。�

• A． 62°
• B． 65°
• C． 68°
• D． 70°

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BA和BC，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，根據(jù)BD是∠ABC的平分線可得出△BDE≌△BDF，故DE=DF，過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，可得出△ADE≌△ADG，△CDG≌△CDF，進(jìn)而得出CD為∠ACF的平分線，得出∠DCA=54°，再根據(jù)∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA即可得出結(jié)論．

解答  解：延長(zhǎng)BA和BC，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥BA于E點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥BC于F點(diǎn)，
∵BD是∠ABC的平分線
在△BDE與△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠AED=∠DFC}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BDF，
∴DE=DF，
又∵∠BAD+∠CAD=180°，
∠BAD+∠EAD=180°，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD為∠EAC的平分線，
過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AC于G點(diǎn)，
在RT△CDG與RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DG}\end{array}\right.$，
∴RT△ADE≌RT△ADG，
∴DE=DG，
∴DG=DF．
在RT△CDG與RT△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{DG=GF}\end{array}\right.$，
∴RT△CDG≌RT△CDF，
∴CD為∠ACF的平分線
∠ACB=72°
∴∠DCA=54°，
△ABC中，
∵∠ACB=72°，∠ABC=50°，
∴∠BAC=180°-72°-50°=58°，
∴∠DAC=$\frac{180°-58°}{2}$=61°，
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠DCA=180°-61°-54°=65°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．