如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的頂點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為B,連結(jié)AB,AC⊥AB,交y軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D,使AD=AC,連結(jié)BD.作AE∥x軸,DE∥y軸.
(1)當(dāng)m=2時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求DE的長(zhǎng)?
(3)①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?②過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線,與第(3)①題確定的函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P,當(dāng)m為何值時(shí),以,A,B,D,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?
解:(1)當(dāng)m=2時(shí),,
把x=0代入,得:y=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2)。
(2)延長(zhǎng)EA,交y軸于點(diǎn)F,
∵AD=AC,∠AFC=∠AED=90°,∠CAF=∠DAE,
∴△AFC≌△AED(AAS)!郃F=AE。
∵點(diǎn)A(m,),點(diǎn)B(0,m),
∴AF=AE=|m|,,
∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,
∴△ABF∽△DAE,∴,即:!郉E=4。
(3)①∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2m,)。
∴x=2m,y=,
∴y=,
∴所求函數(shù)的解析式為:y=。
②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q,則△DPQ≌△BAF,
(Ⅰ)當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)(如圖1),
圖1
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3m,
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為:,
把P(3m,)代入y=得:
。
解得:m=0(此時(shí)A,B,D,P在同一直線上,舍去)或m=8。
(Ⅱ)當(dāng)四邊形ABDP為平行四邊形時(shí)(如圖2),
圖2
點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為:,
把P(m,)代入得:
。
解得:m=0(此時(shí)A,B,D,P在同一直線上,舍去)或m=﹣8。
綜上所述:m的值為8或﹣8。
【解析】(1)將m=2代入原式,得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,據(jù)此即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)。
(2)延長(zhǎng)EA,交y軸于點(diǎn)F,證出△AFC≌△AED,進(jìn)而證出△ABF∽△DAE,利用相似三角形的性質(zhì),求出DE=4。
(3)①根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),得到x=2m,y=﹣m2+m+4,將m=代入y=﹣m2+m+4,即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式。
②作PQ⊥DE于點(diǎn)Q,則△DPQ≌△BAF,然后分(如圖1)和(圖2)兩種情況解答。
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