Question

如圖所示，己知點P是x軸上一點，以P為圓心的⊙P分別與x軸、y軸交于點A、B和C、D，其中A（-3，0），B（1，0）．過點C作⊙P的切線交x軸于點E．
（1）求直線CE的解析式；
（2）求過A、B、C三點的拋物線解析式；
（3）第（2）問中的拋物線的頂點是否在直線CE上，請說明理由；
（4）點F是線段CE上一動點，點F的橫坐標(biāo)為m，問m在什么范圍內(nèi)時，直線FB與⊙P相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）從A，B兩點的坐標(biāo)，可知圓的半徑為2，那么PO=PB-OB=2-1=1，利用勾股定理可求得OC長，可求得∠CPO=60°連接PC后，利用∠CP0的余弦值可得到PE長．設(shè)出直線解析式，把C，E坐標(biāo)代入即可；
（2）用交點式設(shè)出二次函數(shù)解析式，把C坐標(biāo)代入即可；
（3）求得頂點坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入直線解析式，看函數(shù)值是否等于縱坐標(biāo)；
（4）應(yīng)先找到相切時，m的值．注意此時m的取值在0和3之間．
解答：解：（1）連接PC，OC==，
∵cos∠CPO=PO：PC=1：2
∴∠CPO=60°，
∴PE=4，
∴OE=3，
c（0，），E（3，0）．
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
b=，3k+b=0，
解得k=-x，
∴y=+．

（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1）
∵點C（0，）在圖象上，
代入得a=
∴y=-（x+3）（x-1）．

（3）拋物線頂點為（-1，），
當(dāng)x=-1時，代入直線CE解析式y(tǒng)=，
故（2）中拋物線頂點在直線CE上．

（4）當(dāng)FB與OE垂直時，F(xiàn)B切⊙P于B，此時m=1．
而點F在線段CE其他位置時，F(xiàn)B都與⊙P相交．
故0≤m≤3且m≠1．
點評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
點在函數(shù)解析式上，點的橫縱坐標(biāo)應(yīng)適合這個解析式；
過圓上一點的直線與圓的位置關(guān)系只有相切和相交兩種．