Question

已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M、N在直線BC上，∠MAN=45°，現(xiàn)將∠MAN旋轉．
（1）當點M、N在BC上時，則線段BM、CN、MN的數(shù)量關系如何？
（2）當點M在BC延長線上，點N在CB上，直接寫出線段BM、CN、MN的數(shù)量關系；
（3）當點M在BC上，點N在BC延長線上，直接寫出線段BM、CN、MN的數(shù)量關系．

Answer 1

考點：旋轉的性質,全等三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠B=∠ACB=45°把△ABM繞點A順時針旋轉90°可得△ACM′，連接NM′，如圖1，根據(jù)旋轉的性質得AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，于是有∠BCM′=45°+45°=90°，再證明△ANM≌△ANM′，得到MN=M′N，然后在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN²+CM′²=M′N²所以CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN繞點A順時針旋轉90°得到△ACN′，連接MN′，如圖2，與（1）一樣可證明∠BCN′=90°，△ANM≌△AN′M，則MN=MN′，在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN′²+CM²=M′N²，則BN²+CM²=MN²，所以（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM繞點A順時針旋轉90°得到△ACM′，連接MN′，如圖3，與（1）一樣可證明∠BCM′=90°，△ANM≌△ANM′，則MN=MN′，在Rt△CNM′中，根據(jù)勾股定理得CN²+CM′²=M′N²，則CN²+BM²=MN²．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
把△ABM繞點A順時針旋轉90°得到△ACM′，連接NM′，如圖1，
∴AM=AM′，BM=CM′，∠MAM′=90°，∠ACM′=∠B=45°，
∴∠BCM′=45°+45°=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠M′AN=45°，
在△ANM和△ANM′中，

AM=AM′ ∠MAN=∠M′AN AN=AN

，
∴△ANM≌△ANM′（SAS），
∴MN=M′N，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²；
（2）把△ABN繞點A順時針旋轉90°得到△ACN′，連接MN′，如圖2，
同樣證明∠BCN′=90°，
△ANM≌△AN′M，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN′²+CM²=M′N²，
∴BN²+CM²=MN²，
即（BM-MN）²+（MN-CN）²=MN²，
（3）把△ABM繞點A順時針旋轉90°得到△ACM′，連接MN′，如圖3，
同樣證明∠BCM′=90°，
△ANM≌△ANM′，
∴MN=MN′，
在Rt△CNM′中，
CN²+CM′²=M′N²，
∴CN²+BM²=MN²．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質、勾股定理．