Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx-3（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，且拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C．在直線(xiàn)x=1上求點(diǎn)M，使△AMC的周長(zhǎng)最小，并求出△AMC的周長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：直線(xiàn)BC與對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)即為所求使△PAC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線(xiàn)y=ax²+bx-3（a≠0）與y軸的交點(diǎn)為C．
∴C（0，-3）
∵A（-1，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)B（3，0）
連接BC，交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，則此時(shí)△AMC周長(zhǎng)最小，
設(shè)直線(xiàn)BC的關(guān)系式為：y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入y=mx+n得

3m+n=0 n=-3

，
解得

m=1 n=-3

．
∴直線(xiàn)BC的關(guān)系式為y=x-3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1-3=-2，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；
∵BC=

OB2+OC2

=

32+32

=3

2

，AC=

11+32

=

10

，
∴△AMC的周長(zhǎng)=3

2

+

10

；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，以及最短路線(xiàn)問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求得對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．