Question

如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=4，點(diǎn)F在DC上，DF=2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得△FMN，過(guò)△FMN三邊的中點(diǎn)作△PWQ．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位/秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問(wèn)題：
（1）說(shuō)明△FMN∽△QWP；
（2）設(shè)0≤x≤4（即M從D到A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間段）．試問(wèn)x為何值時(shí)，△PWQ為直角三角形？當(dāng)x在何范圍時(shí)，△PQW不為直角三角形？
（3）問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線段MN最短？求此時(shí)MN的值．

Answer 1

分析：（1）由平行線的性質(zhì)可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（2）當(dāng)△FMN是直角三角形時(shí)，△QWP也為直角三角形，當(dāng)MF⊥FN時(shí)，證得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此時(shí)的值，當(dāng)MG⊥FN時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，此時(shí)x=AD=4；
（3）需要分類討論：）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，等于2；
 ②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²=2（x-5）²+2，由二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求最值．

解答：解：（1）根據(jù)三角形中位線定理得 PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF．
同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故當(dāng)△QWP是直角三角形時(shí)，△FMN也為直角三角形．
作FG⊥AB，則四邊形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①當(dāng)MF⊥FN時(shí)，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=

4

3

；
②當(dāng)MN⊥FN時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴當(dāng)x=4或

4

3

時(shí)，△QWP為直角三角形，當(dāng)0≤x＜

4

3

，

4

3

＜x＜4時(shí)，△QWP不為直角三角形．

（3）①當(dāng)0≤x≤4，即M從D到A運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有當(dāng)x=4時(shí)，MN的值最小，等于2；
 ②當(dāng)4＜x≤6時(shí)，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²
=2（x-5）²+2
當(dāng)x=5時(shí)，MN²=2，故MN取得最小值

2

，
故當(dāng)x=5時(shí)，線段MN最短，MN=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題為動(dòng)點(diǎn)變化的題，主要利用了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)求解．