Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，CD=BC，E是CD上一點，BE⊥AC．
（1）求證：AD=EC；
（2）當點E在CD上什么位置時，AB=BE成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①要求證AD=EC，因為AD、EC分別為直角△ADC和直角△ECD的直角邊，所以只要能證明兩個直角三角形全等即可．
②假設(shè)AB=BE成立，借助輔助線證明△ABF和△BEC全等，運用矩形、全等三角形的性質(zhì)判定CE與CD的關(guān)系即可．
解答：①證明：∵AC⊥BE，
∴∠BEC+∠ACE=∠EBC+∠ACB，
∴∠ACE=∠EBC，
又∵在直角梯形ABCD中：AD∥BC，∠BCD=90°，
在直角△ACD和直角△BEC中：BC=CD，∠BCD=∠ADC，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD=EC；

②當E在CD的中點位置時，AB=BE．
過A作AF⊥BC，∵AD∥BC，∠BCD=90°，
∴∠AFC=90°，AD=FC，AF=DC，
由（1）可知AC=BE，AD=EC=CD，又CD=BC，
∴FC=BC，又AF⊥BC，
∴AB=AC=BE．
∴當E在CD的中點位置時，AB=BE成立．
點評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，直角三角形的相關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，綜合運用了全等三角形的性質(zhì)和判定，此類題注意已證明的結(jié)論的充分運用．