Question

（2012•道里區(qū)二模）矩形ABCD，∠ACD=30°，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，∠EAD的平分線交CD于點(diǎn)F過點(diǎn)A作EA的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G
（1）如圖1，求證：AG=DF+

3

3

BE；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖2，點(diǎn)H在GA的延長(zhǎng)線上，連接BH，點(diǎn)M為BH中點(diǎn)，連接FM，F(xiàn)M=

21

，連接HC交AB于點(diǎn)N，若tan∠BCD=

5 3

9

，求HN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形得到AB=CD，在Rt△ACD中得到AB=

3

AD，再證出△BAE∽△DAG，利用相似三角形的性質(zhì)，得到

AB

DA

=

BE

DG

，結(jié)合AB∥CD，證出AG=FG=DF+DG=DF+

3

3

BE．
（2）證出△AFG為等邊三角形，過點(diǎn)H作HK⊥CD于點(diǎn)K，由HK∥BC，tan∠CHK=

5 3

9

，設(shè)CK=5

3

x，則HK=9x，在Rt△HKG內(nèi)，∠G=60°，KG=3

3

x，HG=6

3

x，CG=8

3

x，
進(jìn)而得到CD=AB=HG=6

3

x，連接FH，F(xiàn)B，∠BAF=∠HGF=60°，F(xiàn)G=FA，得到△HGF≌△BAF，推出∠BFH=∠AFG=60°，從而判斷出△BFH為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)
結(jié)合勾股定理得到HN=

2 13

3

．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AB=CD，
在Rt△ACD中，
∵∠ACD=30°，CD=

3

AD，
∴AB=

3

AD，
∵AE⊥AG，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，∠GAD+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GAD，
∵∠B=∠ADG=90°，
∴△BAE∽△DAG，
∴

AB

DA

=

BE

DG

，
∴DG=

3

3

BE，
∵∠EAF=∠FAD，AB∥CD，
∴∠BAF=∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
∴AG=FG=DF+DG=DF+

3

3

BE．

（2）在Rt△ABC中，∠BCA=60°，由（1）可知，∠G=∠BCA=60°，∠DAG=30°，
∴∠BAG=120°，
∴∠BAF=∠AFG=∠FAG=∠G=60°，
∴△AFG為等邊三角形，過點(diǎn)H作HK⊥CD于點(diǎn)K，HK∥BC，
∴∠CHK=∠BCH，
∴tan∠CHK=

5 3

9

，設(shè)CK=5

3

x，則HK=9x，在Rt△HKG內(nèi)，∠G=60°，KG=3

3

x，HG=6

3

x，CG=8

3

x，
∠FAC=∠ACF=30°，
∴AF=FC=2DF，
∴CD=AB=HG=6

3

x，連接FH，F(xiàn)B，∠BAF=∠HGF=60°，F(xiàn)G=FA，
∴△HGF≌△BAF，
∴FB=FH，∠BFA=∠HFG，
∴∠BFH=∠AFG=60°，
∴△BFH為等邊三角形，
∴FM⊥BH，
∵∠FBH=60°，
∴FH=

2

3

FM=2

7

，F(xiàn)C=4

3

x，F(xiàn)K=

3

x，在Rt△FHK內(nèi)，F(xiàn)H²=FK²+HK²，
∴x=

3

3

，
∴HK=3

3

，CK=5，在Rt△CHK內(nèi)，CH=

52+(3 3 )2

=2

13

，
由AN∥CG，
∴

HN

HC

=

HA

HG

=

1

3

，
∴HN=

2 13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，涉及勾股定理、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)，旨在考查對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，有一定難度．