如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.

(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為(      ),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(      ).

(2)若拋物線經(jīng)過A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.

(3)若正方形和拋物線均以每秒個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng). ①在運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為,求關(guān)于平移時(shí)間(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍.②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

 


解:(1)D(-1,3)、E(-3,2)(2分)

(2)拋物線經(jīng)過(0,2)、(-1,3)、(-3,2),則

解得  ∴

(3)①當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.

當(dāng)0<t時(shí),如右圖設(shè)D′C′y軸于點(diǎn)F

∵tan∠BCO==2,又∵∠BCO=∠FCC′

∴tan∠FCC′=2, 即=2∵CC′=t,∴FC′=2t.

∴S△CC=CC′·FC′=t×t=5 t2

當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),t=1.當(dāng)t≤1時(shí),如右圖

設(shè)D′E′y軸于點(diǎn)G,GGHB′C′H.

在Rt△BOC中,BC=

∴GH=,∴CH=GH=

∵CC′=t,∴HC′=t-,∴GD′=t-

∴S梯形CC′D′G=(t-+t) =5t-

當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y軸上時(shí),t=.

當(dāng)1<t時(shí),如右圖所示

設(shè)D′E′、E′B′分別交y軸于點(diǎn)M、N

∵CC′=t,B′C′=,∴CB′=t-,∴B′N=2CB′=t-

∵B′E′=,∴E′N=B′E′-B′N=-t∴E′M=E′N=(-t)

∴S△MNE′=(-t)·(-t)=5t2-15t+

∴S五邊形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′-S△MNE′=(5t2-15t+)=-5t2+15t-

綜上所述,Sx的函數(shù)關(guān)系式為:

當(dāng)0<t時(shí), S=5

當(dāng)t≤1時(shí),S=5t

當(dāng)1<t時(shí),S=-5t2+15t

②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.如右下圖所示

∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′

△BOC∽△E′B′C

OB=2,B′E′=BC=

CE′=OE′=OC+CE′=1+=E′(0,

由點(diǎn)E(-3,2)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E′(0,),可知整條拋物線向右平移了3個(gè)單位,向上平移了個(gè)單位.

∵=∴原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

∴運(yùn)動(dòng)停止時(shí),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,

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如圖1,在直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=
kx
(k>0)
的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F,且點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,3),將△CEF沿EF對折后,C點(diǎn)恰好落在OB上.
(1)求k的值;
(2)如圖2,在直角坐標(biāo)系中,P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),請?jiān)陔p曲線上找兩點(diǎn)M、N,使四邊形OPMN是平行四邊形,求M、N的坐標(biāo).
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(2012•達(dá)州)如圖1,在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2)、點(diǎn)B(-2,0),過點(diǎn)B和線段OA的中點(diǎn)C作直線BC,以線段BC為邊向上作正方形BCDE.
(1)填空:點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(-1,3)
(-1,3)
,點(diǎn)E的坐標(biāo)為
(-3,2)
(-3,2)

(2)若拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、D、E三點(diǎn),求該拋物線的解析式.
(3)若正方形和拋物線均以每秒
5
個(gè)單位長度的速度沿射線BC同時(shí)向上平移,直至正方形的頂點(diǎn)E落在y軸上時(shí),正方形和拋物線均停止運(yùn)動(dòng).
①在運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)正方形落在y軸右側(cè)部分的面積為s,求s關(guān)于平移時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍.
②運(yùn)動(dòng)停止時(shí),求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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已知在Rt△OAB中,∠B=90°,AO=
12
,BA=2.把△OAB按如圖方式放置在直角坐標(biāo)系中,使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,點(diǎn)A落在x軸正半軸上.求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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a-b
+
a2-144
a+12
=0

(1)求證:∠OAB=∠OBA.
(2)如圖2,△OAB沿直線AB翻折得到△ABM,將OA繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AF處,連接OF,作AN平分∠MAF交OF于N點(diǎn),連接BN,求∠ANB的度數(shù).
(3)如圖3,若D(0,4),EB⊥OB于B,且滿足∠EAD=45°,試求線段EB的長度.

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